Tabla de Propiedades
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Descripción:
La Transformada Z posee varias propiedades que resultan útiles en el análisis y procesamiento de señales discretas. A continuación, se presentan algunas de estas propiedades:
1. Linealidad:
La Transformada Z es una transformación lineal, lo que significa que satisface las propiedades de adición y multiplicación por constante.
2. Desplazamiento temporal:
Un desplazamiento temporal hacia la derecha de una secuencia x[n] en el dominio del tiempo equivale a una multiplicación por una potencia de z^(-1) en el dominio de la Transformada Z.
3. Escalamiento temporal:
Un escalamiento temporal de una secuencia x[n] en el dominio del tiempo por un factor α equivale a una multiplicación por α^(-n) en el dominio de la Transformada Z.
4. Convolución en el dominio del tiempo:
La convolución de dos secuencias en el dominio del tiempo se convierte en una multiplicación de sus Transformadas Z correspondientes.
Estas son solo algunas de las propiedades fundamentales de la Transformada Z. Estas propiedades son utilizadas para simplificar el análisis y manipulación de señales discretas en el dominio de la frecuencia compleja.
Formulas:
| Propiedad | señal | Transformada z | ROC |
|---|---|---|---|
| x[n] x1[n] x2[n] | X[z] X1[z] X2[z] | R R1 R2 | |
| Aditiva | x1[n] + x2[n] | X1[z] + X2[z] | |
| Escalabilidad | a x[n] | a X[z] | |
| Linealidad | $$a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]$$ | $$a_1 X_1[z] + a_2 X_2[z]$$ | R’ ⊃R1∩R2 |
| Desplazamiento en tiempo | x[n-n0] | z-n0 X[z] | R’ ⊃ R∩{0<|z|<∞} |
| Multiplicación por z0n | z0n x[n] | $$X \big(\frac{z}{z_0}\big)$$ | R’ = |z0|R |
| Multiplicación por ejβn | ejβn x[n] | X(e-jβ z) | R’ = R |
| Inversión en tiempo | x[-n] | $$X \big(\frac{1}{z}\big)$$ | R’ = 1/R |
| Multiplicación por n | n x[n] | $$-z \frac{\delta}{\delta z}X(z)$$ | R’ = R |
| Acumulativa | $$\sum_{k=-\infty}^n x[n]$$ | $$\frac{1}{1-z^{-1}} X(z)$$ | R’ ⊃ R∩{|z|>1} |
| Convolución | $$x_1 \circledast z_2$$ | X1[z]X2[z] | R’ ⊃R1∩R2 |
| Valor inicial | x[0] | $$\lim_{z \rightarrow \infty} X[z]$$ | |
| Valor Final | $$\lim_{N \rightarrow \infty} x[N]$$ | $$\lim_{z \rightarrow 1} (z-1) X[z]$$ | |
| polos de (z-1)X[z] dentro de círculo unitario | |||
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