Serie compleja de Fourier
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Descripción:
La serie compleja de Fourier es una representación matemática utilizada para descomponer una función periódica en una serie de componentes sinusoidales complejas.
La serie compleja de Fourier se basa en la idea de que cualquier función periódica puede ser expresada como una suma infinita de funciones sinusoidales complejas, conocidas como armónicos. Cada armónico está caracterizado por una frecuencia y una amplitud específicas.
La fórmula general para la serie compleja de Fourier de una función f(x) con período p=L es:
f(x) = Σ [cₙe^(i2πnx/L)]
Donde:
- f(x) es la función periódica.
- cₙ son los coeficientes complejos asociados a cada armónico.
- i es la unidad imaginaria.
La serie compleja de Fourier permite representar funciones periódicas de manera más generalizada, ya que incluye tanto componentes senoidales como cosenoidales, y utiliza números complejos en lugar de solo números reales.
Esta representación es ampliamente utilizada en el análisis y procesamiento de señales, así como en campos como la física, la ingeniería, las telecomunicaciones y la teoría de la información.
Formulas:
Serie compleja (o exponencial) de Fourier, para una función f (x) con periodo p=2L
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty}c_ne^{n \omega_0xi}$$
$$\text{donde la frecuencia fundamental es }\omega_0=\frac{2 \pi}{p}$$
Coeficientes complejos
$$c_{0}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(x)dx$$
$$c_{n}={\frac {1}{2L}}\int _{-L}^{L}f(x)e^{-n \omega_0 xi}dx$$
$$c_{-n}=\bar{c}_n$$
(Complejo Conjugado)
Relación con coeficientes de la serie de Fourier
$$c_0=\frac{a_0}{2}$$
$$c_n=\frac{1}{2}(a_n-b_ni)$$
$$c_{-n}=\frac{1}{2}(a_n+b_ni)$$
NOTA: Al efectuar la sumatoria, siempre tomar el mismo número de coeficientes positivos y negativos.
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