Integrales útiles al trabajar con Series de Fourier
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Descripción:
Al trabajar con Series de Fourier, hay algunas integrales que resultan útiles para el cálculo de los coeficientes y la reconstrucción de la función original. A continuación, se presentan algunas de estas integrales:
1. Integral de una función periódica:
Si f(x) es una función periódica con período p=L, la integral de f(x) sobre un intervalo de longitud p se puede calcular como:
∫[0, p] f(x) dx = a₀L/2
Donde a₀ es el coeficiente correspondiente al término constante en la serie de Fourier de f(x).
2. Integral de productos de funciones seno y coseno:
Las integrales de la forma:
∫[0, p] sin(nπx/L) dx = 0
∫[0, p] cos(nπx/L) dx = 0
Se anulan cuando n es un número entero distinto de cero.
3. Integral de productos de funciones seno y coseno con diferentes frecuencias:
Las integrales de la forma:
∫[0, p] sin(nπx/L) cos(mπx/L) dx = 0
Se anulan cuando n y m son números enteros distintos.
Estas integrales son útiles en el cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier y en la evaluación de las sumas parciales para la reconstrucción de la función original.
Formulas:
$$\int x \: sin \: axdx = \frac{1}{a^2} sin \: ax- \frac{x}{a} cos \: ax+C$$
$$\int x \: cos \: axdx = \frac{1}{a^2} cos \: ax- \frac{x}{a} sin \: ax+C$$
$$\int x^2 \: sin \: axdx = \left( \frac{2}{a^3} - \frac{x^2}{a} \right) cos \: ax- \frac{2x}{a^2} sin \: ax+C$$
$$\int x^2 \: cos \: axdx = \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2}{a^3} \right) sin \: ax- \frac{2x}{a^2} cos \: ax+C$$
$$\int x^3 \: sin \: axdx = \left( \frac{6x}{a^3} - \frac{x^3}{a} \right) cos \: ax+ \left(\frac{3x^2}{a^2} - \frac{6}{a^4} \right) sen \: ax+C$$
$$\int x^3 \: cos \: axdx = \left( \frac{x^3}{a} - \frac{6x}{a^3} \right) sin \: ax+ \left(\frac{3x^2}{a^2} - \frac{6}{a^4} \right) cos \: ax+C$$
$$\int x^4 \: sin \: axdx = \left( \frac{4x^3}{a^2} - \frac{24x}{a^4} \right) sin \: ax- \left(\frac{x^4}{a} - \frac{12x^2}{a^3} + \frac{24}{a^5} \right) cos \: ax+C$$
$$\int x^4 \: cos \: axdx = \left( \frac{4x^3}{a^2} - \frac{24x}{a^4} \right) cos \: ax+ \left(\frac{x^4}{a} - \frac{12x^2}{a^3} + \frac{24}{a^5} \right) sin \: ax+C$$
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