Definición Principal
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Descripción:
Las Series de Fourier son una herramienta matemática utilizada en el análisis de funciones periódicas. Estas series permiten descomponer una función periódica en una suma de funciones armónicas simples, como senos y cosenos.
La Definición Principal de las Series de Fourier establece que cualquier función periódica y de cuadrado integrable, con un período T, puede ser expresada como una serie infinita de senos y cosenos, llamada serie de Fourier:
f(x) = a₀ + Σ [aₙ cos(nω₀x) + bₙ sin(nω₀x)]
Donde:
- f(x) es la función periódica.
- a₀ es el coeficiente de la componente de frecuencia cero (también conocido como el valor medio de la función).
- aₙ y bₙ son los coeficientes de las componentes de frecuencia n, donde n es un número entero positivo.
- ω₀ = 2π/T es la frecuencia fundamental, inversa del período T.
Los coeficientes aₙ y bₙ se calculan mediante las fórmulas de integración adecuadas.
La Definición Principal de las Series de Fourier es fundamental en el estudio y aplicación de estas series en diversos campos, como el análisis de señales, procesamiento de imágenes, teoría de control, y muchas otras áreas de la matemática y la física.
Formulas:
La serie de Fourier de una función f(x) con periodo p = 2L es:
$${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos {\frac {n\pi x}{L}}+b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right)}$$
donde los coeficientes de Fourier están dados por:
$$a_{0}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)dx$$
$$a_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\cos {\frac {n\pi x}{L}}dx$$
$$b_{n}={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\operatorname {sen} \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx$$
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