Estimaciones de Intervalo
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Descripción:
En estadística, las estimaciones de intervalo son un método utilizado para estimar un parámetro desconocido de una población utilizando la información proporcionada por una muestra. A diferencia de las estimaciones puntuales, las estimaciones de intervalo proporcionan un rango de valores dentro del cual se estima que se encuentra el parámetro con cierto nivel de confianza.
El intervalo de confianza se construye alrededor de una estimación puntual y está determinado por el nivel de confianza deseado. El nivel de confianza representa la probabilidad de que el intervalo contenga el verdadero valor del parámetro. Algunos niveles de confianza comunes son 90%, 95% y 99%.
La construcción de un intervalo de confianza implica el cálculo de un margen de error basado en la variabilidad de los datos muestrales y el tamaño de la muestra. Algunos métodos comunes para calcular los intervalos de confianza son:
- Intervalo de confianza para la media: Se utiliza cuando se desea estimar la media poblacional. Se basa en la distribución muestral de la media y utiliza la desviación estándar muestral.
- Intervalo de confianza para la proporción: Se utiliza cuando se desea estimar la proporción poblacional. Se basa en la distribución muestral de la proporción y utiliza la proporción muestral.
- Intervalo de confianza para la diferencia de medias: Se utiliza cuando se desea comparar las medias de dos poblaciones. Se basa en la distribución muestral de la diferencia de medias y utiliza las desviaciones estándar muestrales y los tamaños de muestra de ambas muestras.
Es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza proporciona una medida de incertidumbre alrededor de la estimación puntual y no garantiza que el verdadero valor del parámetro se encuentre dentro del intervalo. Sin embargo, cuanto mayor sea el nivel de confianza utilizado, más estrecho será el intervalo y más precisa será la estimación.
Las estimaciones de intervalo son ampliamente utilizadas en la inferencia estadística y proporcionan información más completa sobre el parámetro de interés en comparación con las estimaciones puntuales.
Formulas:
$$\text{Para muestras grandes y }\sigma \text{ conocida}$$
$$\bar{x} \pm z_{\alpha / 2}\sigma_{\bar{x}}=[\bar{x}-z_{\alpha / 2}\sigma_{\bar{x}},\bar{x}+z_{\alpha / 2}\sigma_{\bar{x}}]$$
$$\text{Para muestras grandes y }\sigma \text{ desconocida}$$
$$S\bar{x}=\frac{s}{\sqrt{n}} \text{ para poblaciones infinitas}$$
$$S\bar{x}=\frac{s}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \text{ para poblaciones finitas y } \frac{n}{N} \geq .05$$
$$\bar{x} \pm z_{\alpha / 2}S_{\bar{x}}=[\bar{x}-z_{\alpha / 2}S_{\bar{x}},\bar{x}+z_{\alpha / 2}S_{\bar{x}}]$$
$$\text{Para muestras pequeñas } (n \leq 30)\: y \: \sigma \text{ desconocida}$$
$$\bar{x} \pm t_{\alpha / 2}S_{\bar{x}}=[\bar{x}-t_{\alpha / 2}S_{\bar{x}},\bar{x}+t_{t / 2}S_{\bar{x}}]$$
$$\text{Para porciones y muestras grandes}$$
$$\sigma_{\bar{p}}=\sqrt{\frac{\bar{p}\bar{q}}{n}}$$
$$\bar{p} \pm z_{\sigma / 2}\alpha_{\bar{p}}=[\bar{p}-z_{\alpha / 2}\sigma_{\bar{p}},\bar{p}+z_{\alpha / 2}\sigma_{\bar{p}}]$$
$$\text{Determinación del tamaño de muestra en la estimación}$$
$$n=(\frac{z_{\alpha / 2} \sigma}{k})^2 \text{ para medias}$$
$$n=\frac{z_{\alpha / 2} \:^2 \:pq}{k^2} \text{ para porciones}$$
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