Distribución Binomial
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Descripción:
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de éxitos en una serie de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso.
Los parámetros clave de la distribución binomial son el número de ensayos (n) y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). La función de probabilidad binomial se define de la siguiente manera:
P(X = k) = C(n, k) * pk * (1 - p)n - k
Donde P(X = k) es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos, C(n, k) es el coeficiente binomial que cuenta el número de formas de elegir k éxitos de n ensayos, p es la probabilidad de éxito en cada ensayo, y (1 - p) es la probabilidad de fracaso en cada ensayo.
La distribución binomial es útil para modelar situaciones en las que se realizan múltiples ensayos independientes con resultados binarios, como el lanzamiento de una moneda, el conteo de éxitos en una serie de pruebas o el análisis de tasas de éxito en un grupo de individuos.
Algunas de las propiedades importantes de la distribución binomial incluyen la media (n * p), la varianza (n * p * (1 - p)) y la desviación estándar (sqrt(n * p * (1 - p))). Estas propiedades ayudan a describir y analizar la distribución de probabilidad.
Formulas:
La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, que se suelen designar como éxito y fracaso.
Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.
Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bernoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).
Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:
$${P(x=m)={n \choose m}p^{m}(1-p)^{n-m}}$$
donde $${{n \choose m}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$$ es el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.
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