Contraste para la varianza de una normal con media desconocida
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Descripción:
El contraste para la varianza de una distribución normal con media desconocida es un procedimiento estadístico utilizado para tomar decisiones sobre la varianza poblacional cuando no se conoce la media de la población.
En este contraste, se utiliza una estimación de la varianza a partir de los datos muestrales. El contraste se basa en el cálculo de un estadístico de contraste llamado chi-cuadrado, que sigue una distribución chi-cuadrado bajo la suposición de que la hipótesis nula es cierta.
Los pasos generales para realizar un contraste para la varianza de una normal con media desconocida son los siguientes:
- Planteamiento de las hipótesis nula y alternativa.
- Selección del nivel de significancia.
- Recopilación y análisis de los datos.
- Cálculo del estadístico de contraste (chi-cuadrado).
- Determinación de los grados de libertad.
- Toma de decisión basada en el valor del estadístico y el nivel de significancia.
- Interpretación de los resultados.
El contraste para la varianza de una normal con media desconocida es utilizado en estudios de investigación, análisis de calidad y en muchas otras áreas donde se desea realizar inferencias sobre la varianza de una población cuando no se conoce la media.
Formulas:
Hipótesis nula
$$H_0:\sigma^2 = \sigma_0^2$$
Hipótesis alternativa
$$H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2$$
$$H_1:\sigma^2 > \sigma_0^2$$
$$H_1:\sigma^2 < \sigma_0^2$$
Estadístico de contraste
$$X^2= \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$$
Criterios de rechazo
$$X^2 \leq X^2{\alpha /2,n-1}\:\: o \:\: X^2 \geq X^2_{1-\alpha /2,n-1}$$
$$X^2 \geq X^2_{1-\alpha,n-1}$$
$$X^2 \leq X^2_{\alpha,n-1}$$
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