Contraste para la varianza de una normal con media conocida
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Descripción:
El contraste para la varianza de una distribución normal con media conocida es un procedimiento estadístico utilizado para tomar decisiones sobre la varianza poblacional cuando se conoce la media de la población.
El objetivo del contraste es determinar si hay suficiente evidencia para afirmar que la varianza de la población difiere de un valor hipotético (llamado valor de referencia) o si se mantiene dentro de un intervalo específico.
El contraste se basa en el cálculo de un estadístico de contraste, que sigue una distribución conocida (chi-cuadrado) bajo la suposición de que la hipótesis nula es cierta.
Los pasos generales para realizar un contraste para la varianza de una normal con media conocida son los siguientes:
- Planteamiento de las hipótesis nula y alternativa.
- Selección del nivel de significancia.
- Recopilación y análisis de los datos.
- Cálculo del estadístico de contraste.
- Determinación de los grados de libertad.
- Toma de decisión basada en el valor del estadístico y el nivel de significancia.
- Interpretación de los resultados.
El contraste para la varianza de una normal con media conocida es utilizado en diversas áreas, como en estudios de investigación, análisis de calidad y en muchos otros contextos donde es importante tomar decisiones basadas en datos sobre la varianza de una población.
Formulas:
Hipótesis nula
$$H_0:\sigma^2 = \sigma_0^2$$
Hipótesis alternativa
$$H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2$$
$$H_1:\sigma^2 > \sigma_0^2$$
$$H_1:\sigma^2 < \sigma_0^2$$
Estadístico de contraste
$$X^2= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu_0)^2}{\sigma_0^2}$$
Criterios de rechazo
$$X^2 \leq X^2{\alpha /2,n}\:\: o \:\: X^2 \geq X^2_{1-\alpha /2,n}$$
$$X^2 \geq X^2_{1-\alpha,n}$$
$$X^2 \leq X^2_{\alpha,n}$$
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