Contraste para la media de una normal con varianza desconocida
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Descripción:
El contraste para la media de una distribución normal con varianza desconocida es un procedimiento estadístico utilizado para tomar decisiones sobre la media poblacional cuando no se conoce la varianza de la población.
A diferencia del contraste con varianza conocida, en este caso se utiliza una estimación de la varianza a partir de los datos muestrales. El contraste se basa en el cálculo de un estadístico de contraste llamado t de Student, que sigue una distribución t de Student bajo la suposición de que la hipótesis nula es cierta.
Los pasos generales para realizar un contraste para la media de una normal con varianza desconocida son los siguientes:
- Planteamiento de las hipótesis nula y alternativa.
- Selección del nivel de significancia.
- Recopilación y análisis de los datos.
- Cálculo del estadístico de contraste (t de Student).
- Determinación de los grados de libertad.
- Toma de decisión basada en el valor del estadístico y el nivel de significancia.
- Interpretación de los resultados.
El contraste para la media de una normal con varianza desconocida es ampliamente utilizado en estudios de investigación, análisis de calidad y en muchas otras áreas donde se desea realizar inferencias sobre la media de una población cuando no se conoce la varianza.
Formulas:
Hipótesis nula
$$H_0:\mu = \mu_0$$
Hipótesis alternativa
$$H_1:\mu \neq \mu_0$$
$$H_1:\mu > \mu_0$$
$$H_1:\mu < \mu_0$$
Estadístico de contraste
$$T= \frac{\bar{X}- \mu}{S/ \sqrt{n}}$$
Criterios de rechazo
$$T \leq t_{\alpha /2,n-1}\: o \: T \geq t_{1-\alpha /2,n-1}$$
$$T \geq t_{1-\alpha,n-1}$$
$$T \leq t_{\alpha,n-1}$$
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