Función Gamma (Incluye: propiedades)
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Descripción:
La función Gamma, denotada como Γ(x), es una función especial que se utiliza ampliamente en matemáticas, física y estadísticas. Esta función está definida para valores positivos de x y tiene varias propiedades importantes. A continuación se presentan algunas de las propiedades más relevantes de la función Gamma:
1. Fórmula de definición: La función Gamma se define como Γ(x) = ∫[0, ∞] t^(x-1) e^(-t) dt, donde ∫[0, ∞] representa la integral definida en el intervalo de 0 a infinito.
2. Relación con los factoriales: La función Gamma está relacionada con los factoriales de los números enteros positivos. En particular, para n ∈ N, se tiene que Γ(n+1) = n!. Esta propiedad permite extender la noción de factorial a valores no enteros utilizando la función Gamma.
3. Propiedades multiplicativa y aditiva: La función Gamma satisface las propiedades Γ(x+1) = xΓ(x) y Γ(x) = Γ(x+1)/x. Además, para x, y > 0, se cumple que Γ(x+y) = Γ(x)Γ(y).
4. Relación con la función Beta: La función Gamma está relacionada con la función Beta a través de la fórmula B(x, y) = Γ(x)Γ(y) / Γ(x+y), donde B(x, y) representa la función Beta.
Estas son solo algunas de las propiedades más importantes de la función Gamma. Esta función tiene una amplia gama de aplicaciones en áreas como análisis matemático, teoría de probabilidades, teoría de números y física teórica.
Formulas:
$$$\Gamma(z) = \int _{0}^{\infty} t^{z - 1}e^{-t} dt$$
Propiedades
$$\Gamma(z + 1) = z \Gamma (z)$$
$$\Gamma \biggl( \frac {1}{2} \biggr) = \sqrt{\pi}$$
$$\Gamma(1 - z) \Gamma(z) = \frac {\pi}{\sin (\pi z)}$$
$$\Gamma(z) \Gamma \biggl( z + \frac{1}{2} \biggr) = 2^{1 - 2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z)$$
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