Función Beta (Incluye: propiedades)
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Descripción:
La función Beta, denotada como B(x, y), es una función especial que se define para valores positivos de x e y. Se utiliza comúnmente en cálculo integral y combinatoria. La función Beta está relacionada con la función Gamma y tiene varias propiedades importantes. A continuación se presentan algunas de las propiedades más relevantes de la función Beta:
1. Fórmula de definición: La función Beta se define como B(x, y) = ∫[0, 1] t^(x-1) (1-t)^(y-1) dt, donde ∫[0, 1] representa la integral definida en el intervalo de 0 a 1.
2. Propiedad de simetría: B(x, y) = B(y, x). Esta propiedad indica que la función Beta es simétrica respecto a sus argumentos x e y.
3. Relación con la función Gamma: La función Beta está relacionada con la función Gamma a través de la fórmula B(x, y) = Γ(x)Γ(y) / Γ(x+y), donde Γ(x) representa la función Gamma.
4. Expresión en términos de factoriales: La función Beta puede ser expresada en términos de factoriales como B(x, y) = (x-1)!(y-1)! / (x+y-1)!, donde ! representa el factorial.
Estas son solo algunas de las propiedades más importantes de la función Beta. Esta función tiene una amplia gama de aplicaciones en matemáticas, estadísticas y otras áreas relacionadas.
Formulas:
$$$\mathrm{B} (x,y) = \int _{0}^1 t^{x - 1}(1 - t)^{y - 1} dt$$
Propiedades
$$\mathrm{B} (x,y) = \frac {\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}$$
$$\mathrm{B} (x,y) = \mathrm{B} (y,x)$$
$$\mathrm{B} (x,y) = 2 \int _{0}^{\pi / 2} \cos ^{2x - 1}(\theta) \sin ^{2y - 1} (\theta) d\theta$$
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