Transferencia de materia

Transporte de materia por migración.

Se define como la fracción de corriente aportada por esa especie.

$$\sum_jt_j=1 \:\: t_{+}+t_{-}=1$$

$$L=k\frac{A_e}{l} \:\:\:\: \vec{E} = \vec{\nabla} \phi $$

$$\vec{F}_j =-z_j \cdot e \cdot \vec{\nabla} \phi $$

Fricción. Ecuación de Stokes.

$$|\vec{F}| =6 \pi r_j \cdot \mu \cdot |v_j| \:\:\:\: |u_j|=\frac{|z_j| \cdot e}{6 \pi \cdot r_j \mu}$$

Movilidad de los iones

$$k=F^2 \sum_j (ucz^2)j$$

$$t_j=\frac{(u \cdot vz^2)j}{\sum_i (u \cdot vz^2)j}$$

Conductividad molar

$$\Lambda_m = \frac{k}{c} = F^2 \sum_j u_j v_j z^2_j$$

Ley Kohlrausch:

$$\Lambda_m = \Lambda_{m0}-K \cdot ^{1/2}, c^{1/2} < 0,02M^{1/2} \Rightarrow c < 0,04M$$

$$\Lambda_{mo} = v+ \lambda^+_0 + \lambda^-_0$$

Conductividad de cada especie:

$$\lambda_j = F^2 \cdot u_j \cdot z^2_j$$

$$\Lambda_m = \sum v_j \lambda_j t_j = \frac{\lambda_j}{\Lambda_m}$$

Transporte de materia combinado

1. difusión

$$\text{Ley Fick} \:\:\: \vec{N}^{dif}_j = -D_j \vec{\nabla}c_j$$

$$\text{Ec. Nernst-Einstein} \:\:\: D_j = \frac{RT \lambda_j}{z^2_j F^2} = RTu_j$$

2. convección

$$\vec{N}^{conv}_j = c_j \vec{v}$$

3. migración

$$\vec{N}^{mig}_j = -z_j u_j c_j F \vec{\nabla} \phi$$

Todo Junto

$$\vec{N}_j = z_ju_jc_jF \vec{\nabla} \phi - D_j \vec{\nabla} \phi + c_j \vec{v}$$

$$i=-k \vec{\nabla} \phi - F \sum_j z_jD_j \vec{\nabla} c_j$$

Potencial de difusión: (cuando i = 0)

$$\vec{\nabla} \phi_{dif} = \frac{F}{k} \sum z_jD_j \vec{\nabla} c_j$$

Balances de materia

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{N}_j + \frac{\partial c_j}{\partial t} = R_j$$

Balance de materia a un flujo convectivo:

$$\frac{\partial c}{\partial t} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} c = D \nabla^2c$$

$$D= \frac{z_+u_+D_{-}-z_-u_-D_+}{z_+u_+ - z_-u_-}$$

Modelo de la capa de difusión de Nerst

$$k_m = \frac{D_j}{\delta} \:\:\:\: i_L = nFk_mc_j$$

Transferencia de materia en régimen laminar

En un cátodo plano

$$\frac{k_m \cdot L}{D_j} = 0,695 \left( \frac{\upsilon \cdot L}{v} \right)^{1/2} \cdot Sc^{1/3} \:\:\:\: Sc=\frac{v}{D_j}$$

En un cátodo de disco rotatorio

$$k_m = 0,621 \cdot D^{1/2}_j \left( \frac{D_j}{v}\right)^{1/6} \cdot \omega^{1/2}$$

$$i_L = 0,621 \cdot D^{1/2}_j \left( \frac{D_j}{v}\right)^{1/6} \cdot \omega^{1/2} nFc_j$$

Donde ω es la velocidad angular de giro del disco. Se puede escribir de otra forma:

$$\frac{k_mr}{D_j}=0,621 \cdot Re^{1/2} \cdot Sc^{1/3} \:\:\:\: Re=\frac{\omega r^2}{D} \:\:\:\: Sc=\frac{v}{d_j}$$

Notación:

α = coeficiente de transferencia de materia

a_e = área específica del electrodo

A_e = área del electrodo

c = concentración

c_A = concentración de A en el seno del fluido

δ = espesor de la capa de difusión de Nerst

η = sobretensión electroqúımica. η := E − Eeq

E◦ = potencial estándar de reducción

E = campo eléctrico

e = carga del electrón: e = 1,602176 · 10−19C

φ = potencial

F = constante de Faraday = 96485,309 C/mol

h_j = entalpía específica de la especie j

K = constante termodinámica de equilibrio

L = 1. Conductancia, 2. Longitud

M = peso molecular

V_J = coeficiente estequiométrico de la especie j

n = número de electrones implicados

i = densidad de corriente

i_O = densidad de corriente de intercambio

i_L = densidad de corriente límite

I = intensidad de corriente límite

I_L = intensidad de corriente límite

k = conductividad de la disolución

k_D,k_I = constantes cinéticas directa e inversa

k_o = constante cinética estándar

λ_o = conductividad iónica molar

λ_j = conductividad iónica molar de especie j

Λ_m = conductividad molar. Λm = κ/c

L = conductancia

Q_v = Caudal volumétrico

Q^* = calor intercambiado a través de las paredes

t = número de transferencia o número de transporte

t+,t_ = número de transporte de los cationes/aniones

t_c = tiempo crítico

u = movilidad iónica.

u' = movilidad iónica absoluta

S = Sección del reactor

z = carga (en unidades e)

?_P1 = algo referido al producto P1

?_k = referido al componente clave