Transformada inversa de Laplace
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Descripción:
La transformada inversa de Laplace es la operación inversa a la transformada de Laplace. Permite obtener la función original en el dominio del tiempo a partir de su transformada de Laplace en el dominio de la frecuencia compleja.
Algunas de las aplicaciones de la transformada inversa de Laplace son:
- Resolución de ecuaciones diferenciales: La transformada inversa de Laplace se utiliza para encontrar la solución de una ecuación diferencial en el dominio del tiempo, a partir de su transformada de Laplace en el dominio de la frecuencia compleja.
- Estudio de sistemas dinámicos: La transformada inversa de Laplace permite analizar y modelar sistemas dinámicos en el dominio del tiempo, proporcionando información sobre su comportamiento transitorio y estable.
- Simulación y diseño de sistemas: Con la transformada inversa de Laplace, es posible simular y diseñar sistemas en el dominio del tiempo, evaluando su respuesta y ajustando parámetros para obtener el comportamiento deseado.
- Análisis de señales y sistemas: La transformada inversa de Laplace se utiliza para analizar señales y sistemas en el dominio del tiempo, permitiendo estudiar propiedades como la respuesta transitoria y la estabilidad.
Estas aplicaciones de la transformada inversa de Laplace son fundamentales en la resolución de problemas de ingeniería, física y otras disciplinas que involucran sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales.
Formulas:
En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad
$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s),}$$
$$\text{donde }{\mathcal {L}}\text{ es la transformada de Laplace.}$$
Forma integral
$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)\,ds,}$$
donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de F(s).
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