Transformada de LaPlace
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Descripción:
La transformada de Laplace es una herramienta matemática utilizada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales.
Algunas de las aplicaciones de la transformada de Laplace son:
- Resolución de ecuaciones diferenciales: La transformada de Laplace permite transformar una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, lo que facilita su resolución.
- Análisis de sistemas lineales: La transformada de Laplace se utiliza para analizar y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, como circuitos eléctricos, sistemas de control y sistemas de comunicación.
- Estudio de la estabilidad de sistemas: La transformada de Laplace proporciona una herramienta para analizar la estabilidad de sistemas lineales, permitiendo evaluar la respuesta en el dominio de Laplace y determinar la estabilidad del sistema.
- Aplicaciones en la teoría de señales y sistemas: La transformada de Laplace se utiliza en el análisis de señales y sistemas, permitiendo estudiar propiedades como la respuesta en frecuencia, la convolución y la respuesta transitoria de sistemas lineales.
Estas aplicaciones de la transformada de Laplace son ampliamente utilizadas en la ingeniería, la física y otras disciplinas científicas, brindando una poderosa herramienta para resolver problemas relacionados con ecuaciones diferenciales y sistemas lineales.
Formulas:
Transformada de Laplace Bilateral
$$\mathcal {L}==\int _{0}^{\infty }e^{-st}F(t) \, dt = f(s)$$
Linealidad
$${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}$$
Primer teorema de traslación
$${\mathcal {L}}\left\{e^{{at}}f(t)\right\}=F(s-a)$$
Segundo teorema de traslación
Si u(t) denota la función escalón unitario entonces
$${\mathcal {L}}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}$$
En ocasiones es más cómoda la siguiente expresión
$$\mathcal {L}\{f(t)u(t-a)\}=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}$$
Transformada de una derivada
$$Si \: n \in \mathbb{N} \: entonces$$
$$\mathcal {L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots -f^{(n-1)(0)}$$
$$donde \: f^{(n)} denota \:la \:n-\acute{e}sima \:derivada \:de f.$$
Transformada de una integral
$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(u)\;du\right\}={\frac {{\mathcal {L}}\{f(t)\}}{s}}}$$
Derivada de una transformada
$$Si \: n \in \mathbb{N} \: entonces$$
$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\;{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$
en particular cuando n=1 obtenemos
$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{tf(t)\}&=-{\frac {d}{ds}}\;{\mathcal {L}}\{f(t)\}\\&=-{\frac {d}{ds}}\;F(s)\end{aligned}}}$$
Integral de una transformada
$$\text{Si suponemos que }{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(\omega )}\:entonces$$
$${\displaystyle \int _{s}^{\infty }{\mathcal {L}}\{f(t)\}d\omega ={\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}}$$
Transformada de una función periódica
Si f(t) es una función periódica con periodo T entonces
$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$$
Convolución
$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
Transformada de la delta de Dirac
$$Para \: t_0 > 0$$
$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\delta (t-t_{0})\}=e^{-t_{0}s}}$$
Teorema del valor inicial
$$\text{Sea una función } f\in \varepsilon \text{ derivable a trozos y que }f^{{\prime }}\in \varepsilon \:entonces:$$
$$f(0^{{+}})=\lim _{{s\to \infty }}{sF(s)}$$
$$\varepsilon \text{ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.}$$
Teorema del valor final
$$\text{Sea } f\in \varepsilon \text{ una función derivable a trozos tal que }f^{{\prime }}\in \varepsilon \:entonces:$$
$$f(\infty )=\lim _{{s\to 0}}{sF(s)}$$
$$\varepsilon \text{ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.}$$
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