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Transformada de LaPlace

Categoria: formulae.app / Matemáticas / Ecuaciones Diferenciales / Transformada de LaPlace

Formulas:



Transformada de Laplace Bilateral

$$\mathcal {L}==\int _{0}^{\infty }e^{-st}F(t) \, dt = f(s)$$


Linealidad

$${\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}=\alpha {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\beta {\mathcal {L}}\{g(t)\}$$


Primer teorema de traslación

$${\mathcal {L}}\left\{e^{{at}}f(t)\right\}=F(s-a)$$


Segundo teorema de traslación

Si u(t) denota la función escalón unitario entonces

$${\mathcal {L}}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}$$

En ocasiones es más cómoda la siguiente expresión

$$\mathcal {L}\{f(t)u(t-a)\}=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}$$


Transformada de una derivada

$$Si \: n \in \mathbb{N} \: entonces$$

$$\mathcal {L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots -f^{(n-1)(0)}$$

$$donde \: f^{(n)} denota \:la \:n-\acute{e}sima \:derivada \:de f.$$


Transformada de una integral

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(u)\;du\right\}={\frac {{\mathcal {L}}\{f(t)\}}{s}}}$$


Derivada de una transformada

$$Si \: n \in \mathbb{N} \: entonces$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\;{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

en particular cuando n=1 obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{tf(t)\}&=-{\frac {d}{ds}}\;{\mathcal {L}}\{f(t)\}\\&=-{\frac {d}{ds}}\;F(s)\end{aligned}}}$$


Integral de una transformada

$$\text{Si suponemos que }{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(\omega )}\:entonces$$

$${\displaystyle \int _{s}^{\infty }{\mathcal {L}}\{f(t)\}d\omega ={\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}}$$


Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con periodo T entonces

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$$

Convolución

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$


Transformada de la delta de Dirac

$$Para \: t_0 > 0$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\delta (t-t_{0})\}=e^{-t_{0}s}}$$


Teorema del valor inicial

$$\text{Sea una función } f\in \varepsilon \text{ derivable a trozos y que }f^{{\prime }}\in \varepsilon \:entonces:$$

$$f(0^{{+}})=\lim _{{s\to \infty }}{sF(s)}$$

$$\varepsilon \text{ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.}$$


Teorema del valor final

$$\text{Sea } f\in \varepsilon \text{ una función derivable a trozos tal que }f^{{\prime }}\in \varepsilon \:entonces:$$

$$f(\infty )=\lim _{{s\to 0}}{sF(s)}$$

$$\varepsilon \text{ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.}$$

Paginación de: Ecuaciones Diferenciales

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