Ecuación Diferencial Lineal NO Homogénea

Métodos para hallar la Solución Particular de:

$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$

Variación de parámetros (Variación de constantes)

$$y_p=C_1y_1+C_2y_2$$

$$\begin{pmatrix}y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C'_1 \\ C'_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ f(x)\end{pmatrix}$$

Coeficientes indeterminados (tanteo)

$$f(x)=e^{kx} \hspace{2em} y_p=Ae^{kx}$$

$$f(x)=xe^{kx} \hspace{2em} y_p=Axe^{kx}+Be^{kx}$$

$$f(x)=x^2e^{kx} \hspace{2em} y_p=Ax^2e^{kx}+Be^{kx}+Ce^{kx}$$

$$f(x)=k \hspace{2em} y_p=A$$

$$f(x)=kx \hspace{2em} y_p=Ax+B$$

$$f(x)=kx^2 \hspace{2em} y_p=Ax^2+Bx+C$$

$$f(x)=sen \: kx \hspace{2em} y_p=A \: sen \: kx + B \: cos \: kx$$

$$f(x)=cos \: kx \hspace{2em} y_p=A \: sen \: kx + B \: cos \: kx$$

$$f(x)=x \: sen \: kx \hspace{2em} y_p=Ax \: sen \: kx + Bx \: cos \: kx + C \: sen \: kx + D \: cos \: kx$$

$$f(x)=x \: cos \: kx \hspace{2em} y_p=Ax \: sen \: kx + Bx \: cos \: kx + C \: sen \: kx + D \: cos \: kx$$

$$f(x)=e^{nx}sen \: kx \hspace{2em} y_p=Ae^{nx} \: sen \: kx + Be^{nx} \: cos \: kx$$

$$f(x)=e^{nx}cos \: kx \hspace{2em} y_p=Ae^{nx} \: sen \: kx + Be^{nx} \: cos \: kx$$

Teoremas (Métodos Abreviados)

$$y_p=\frac{1}{F(D)}e^{\alpha x}=\frac{1}{F(\alpha)}e^{\alpha x}, F(\alpha) \neq 0$$

$$y_p=\frac{1}{(D-\alpha)^nM(D)}e^{\alpha x}=\frac{x^n}{n!M(\alpha)}e^{\alpha x}$$

$$y_p=\frac{1}{F(D)}e^{\alpha x}N(x)=e^{\alpha x}\frac{1}{F(D+\alpha)}N(x)$$

$$y_p=\frac{1}{F(D^2)}sen(ax+b)=\frac{1}{F(-a^2)}sen(ax+b),F(-a^2) \neq 0$$

$$y_p=\frac{1}{(D^2+a^2)}sen(ax)=-\frac{x}{2a}cos(ax)$$

$$y_p=\frac{1}{(D^2+a^2)^n}sen(ax)=\frac{x^n}{n!(2a)^2}sen(ax-\frac{n\pi}{2})$$

$$y_p=\frac{1}{F(D^2)}cos(ax+b)=\frac{1}{F(-a^2)}cos(ax+b), F(-a^2) \neq 0$$

$$y_p=\frac{1}{(D^2+a^2)}cos(ax)=\frac{x}{2a}sen(ax)$$

$$y_p=\frac{1}{(D^2+a^2)^n}cos(ax)=\frac{x^n}{n!(2a)^2}cos(ax-\frac{n\pi}{2})$$

$$y_p=\frac{1}{F(D)}xV(x)=x \frac{1}{F(D)}V(x)-\frac{F'(D)}{[F(D)]^2}V(x)$$

$$y_p=\frac{1}{F(D)}x^n=(a+bD+cD^2+ \dotsb + zD^n)x^n$$