Ecuación Diferencial Lineal NO Homogénea
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Descripción:
Una ecuación diferencial lineal no homogénea es una ecuación diferencial de la forma:
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)
donde 'p(x)', 'q(x)' y 'g(x)' son funciones dadas, 'y' es la función incógnita y sus derivadas.
La parte no homogénea de la ecuación, representada por 'g(x)', introduce una función no nula que puede depender de 'x'. La solución de esta ecuación consiste en encontrar una función 'y' que satisfaga tanto la ecuación diferencial como la condición no homogénea.
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea, se sigue el siguiente procedimiento:
- Se encuentra la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea asociada, que tiene la forma 'y_h'.
- Se busca una solución particular de la ecuación no homogénea, que puede ser de diferentes formas dependiendo de la forma funcional de 'g(x)'.
- La solución general de la ecuación diferencial no homogénea es la suma de la solución general de la homogénea y la solución particular de la no homogénea: 'y = y_h + y_p'.
La elección de la técnica para encontrar la solución particular depende de la forma funcional de 'g(x)', y puede incluir métodos como la variación de parámetros, el método de coeficientes indeterminados, la transformada de Laplace, entre otros.
Resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas es un proceso fundamental en matemáticas aplicadas y tiene diversas aplicaciones en campos como la física, la ingeniería y la economía.
Formulas:
Métodos para hallar la Solución Particular de:
$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$
Variación de parámetros (Variación de constantes)
$$y_p=C_1y_1+C_2y_2$$
$$\begin{pmatrix}y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C'_1 \\ C'_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ f(x)\end{pmatrix}$$
Coeficientes indeterminados (tanteo)
$$f(x)=e^{kx} \hspace{2em} y_p=Ae^{kx}$$
$$f(x)=xe^{kx} \hspace{2em} y_p=Axe^{kx}+Be^{kx}$$
$$f(x)=x^2e^{kx} \hspace{2em} y_p=Ax^2e^{kx}+Be^{kx}+Ce^{kx}$$
$$f(x)=k \hspace{2em} y_p=A$$
$$f(x)=kx \hspace{2em} y_p=Ax+B$$
$$f(x)=kx^2 \hspace{2em} y_p=Ax^2+Bx+C$$
$$f(x)=sen \: kx \hspace{2em} y_p=A \: sen \: kx + B \: cos \: kx$$
$$f(x)=cos \: kx \hspace{2em} y_p=A \: sen \: kx + B \: cos \: kx$$
$$f(x)=x \: sen \: kx \hspace{2em} y_p=Ax \: sen \: kx + Bx \: cos \: kx + C \: sen \: kx + D \: cos \: kx$$
$$f(x)=x \: cos \: kx \hspace{2em} y_p=Ax \: sen \: kx + Bx \: cos \: kx + C \: sen \: kx + D \: cos \: kx$$
$$f(x)=e^{nx}sen \: kx \hspace{2em} y_p=Ae^{nx} \: sen \: kx + Be^{nx} \: cos \: kx$$
$$f(x)=e^{nx}cos \: kx \hspace{2em} y_p=Ae^{nx} \: sen \: kx + Be^{nx} \: cos \: kx$$
Teoremas (Métodos Abreviados)
$$y_p=\frac{1}{F(D)}e^{\alpha x}=\frac{1}{F(\alpha)}e^{\alpha x}, F(\alpha) \neq 0$$
$$y_p=\frac{1}{(D-\alpha)^nM(D)}e^{\alpha x}=\frac{x^n}{n!M(\alpha)}e^{\alpha x}$$
$$y_p=\frac{1}{F(D)}e^{\alpha x}N(x)=e^{\alpha x}\frac{1}{F(D+\alpha)}N(x)$$
$$y_p=\frac{1}{F(D^2)}sen(ax+b)=\frac{1}{F(-a^2)}sen(ax+b),F(-a^2) \neq 0$$
$$y_p=\frac{1}{(D^2+a^2)}sen(ax)=-\frac{x}{2a}cos(ax)$$
$$y_p=\frac{1}{(D^2+a^2)^n}sen(ax)=\frac{x^n}{n!(2a)^2}sen(ax-\frac{n\pi}{2})$$
$$y_p=\frac{1}{F(D^2)}cos(ax+b)=\frac{1}{F(-a^2)}cos(ax+b), F(-a^2) \neq 0$$
$$y_p=\frac{1}{(D^2+a^2)}cos(ax)=\frac{x}{2a}sen(ax)$$
$$y_p=\frac{1}{(D^2+a^2)^n}cos(ax)=\frac{x^n}{n!(2a)^2}cos(ax-\frac{n\pi}{2})$$
$$y_p=\frac{1}{F(D)}xV(x)=x \frac{1}{F(D)}V(x)-\frac{F'(D)}{[F(D)]^2}V(x)$$
$$y_p=\frac{1}{F(D)}x^n=(a+bD+cD^2+ \dotsb + zD^n)x^n$$
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