Ecuación diferencial lineal
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Descripción:
Una ecuación diferencial lineal es un tipo de ecuación diferencial en la que la variable dependiente y sus derivadas aparecen de forma lineal. Se puede escribir en la siguiente forma:
\(\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)\)
Donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones dadas de la variable independiente \(x\). La ecuación se llama "lineal" debido a que la variable dependiente \(y\) y su derivada \(\frac{{dy}}{{dx}}\) aparecen solo de forma lineal.
Para resolver una ecuación diferencial lineal, se sigue el siguiente procedimiento:
- Se escribe la ecuación en la forma \(\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)\).
- Se encuentra la solución de la ecuación homogénea asociada, que se obtiene al eliminar el término no homogéneo \(Q(x)\).
- Se utiliza el método de variación de parámetros para encontrar la solución particular de la ecuación completa.
- Se suma la solución de la ecuación homogénea y la solución particular para obtener la solución general de la ecuación diferencial lineal.
Las ecuaciones diferenciales lineales son ampliamente utilizadas en la física y la ingeniería, y se aplican en diversos problemas de modelado, como el decaimiento radioactivo, el crecimiento poblacional y la dinámica de circuitos eléctricos, entre otros.
Formulas:
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=q(x)$$
$$ye^{\int P(x)dx}= \int q(x)e^{\int P(x)dx}dx +C$$
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