Ecuación diferencial homogénea

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Descripción:

Una ecuación diferencial homogénea es un tipo especial de ecuación diferencial en la que todos los términos de la ecuación son funciones homogéneas de la misma grado. Se puede escribir en la siguiente forma:

\(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\)

Donde \(M(x,y)\) y \(N(x,y)\) son funciones homogéneas del mismo grado. Una función se considera homogénea si satisface la propiedad de escala, es decir, cuando se multiplica por una constante \(k\), la función se escala en \(k^n\), donde \(n\) es el grado de la función.

Para resolver una ecuación diferencial homogénea, se puede realizar el siguiente cambio de variable:

\(y = vx\)

Donde \(v\) es una nueva variable. Luego se calcula la derivada de \(y\) con respecto a \(x\) utilizando la regla del producto y se sustituye en la ecuación diferencial original. Esto resultará en una ecuación diferencial separable que se puede resolver utilizando técnicas de integración.

La solución general de una ecuación diferencial homogénea puede ser una familia de curvas. Para obtener la solución particular que satisface una condición inicial, se utiliza la constante de integración y se evalúa en los valores dados.

Las ecuaciones diferenciales homogéneas son de gran importancia en muchas áreas de la física y la ingeniería, y tienen diversas aplicaciones en problemas de crecimiento, decaimiento y proporciones en sistemas físicos y biológicos.

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