Ecuación diferencial exacta
Categoria: formulae.app / Matemáticas / Ecuaciones Diferenciales / Ecuación diferencial exacta
Descripción:
Una ecuación diferencial exacta es un tipo especial de ecuación diferencial en la que se cumple una condición de exactitud. Se puede escribir en la siguiente forma:
\(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\)
Donde \(M(x,y)\) y \(N(x,y)\) son funciones de las variables \(x\) e \(y\).
Para determinar si una ecuación diferencial es exacta, se verifica si se cumple la condición de exactitud:
\(\frac{{\partial M}}{{\partial y}} = \frac{{\partial N}}{{\partial x}}\)
Si la condición de exactitud se cumple, se procede a encontrar la función potencial \(\Phi(x,y)\) tal que:
\(d\Phi(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy\)
La solución general de una ecuación diferencial exacta se obtiene encontrando la función potencial \(\Phi(x,y)\) y estableciendo \(\Phi(x,y) = C\), donde \(C\) es una constante arbitraria.
Las ecuaciones diferenciales exactas tienen diversas aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y otras áreas, y se utilizan para modelar fenómenos de flujo, termodinámica y electromagnetismo, entre otros.
Formulas:
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
Es exacta si se cumple:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$
$$\text{Factores de Integración:}$$
$$\frac{1}{N} \left(\frac{\partial M}{\partial_y} - \frac{\partial N}{\partial_x} \right) = f(x) \hspace{2em} u=e^{\int f(x)dx}$$
$$\frac{1}{M} \left(\frac{\partial N}{\partial_x} - \frac{\partial M}{\partial_y} \right) = f(y) \hspace{2em} u=e^{\int f(y)dx}$$
PlayStore
AppStore