Ecuación Diferencial Cauchy - Euler
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Descripción:
La ecuación diferencial de Cauchy-Euler, también conocida como ecuación diferencial de orden variable, es una ecuación de la forma:
ax^n y'' + bnx^(n-1) y' + c y = 0
donde 'a', 'b' y 'c' son constantes, 'n' es un número real y 'y' es la función incógnita y sus derivadas.
Esta ecuación se caracteriza por tener coeficientes que dependen de la variable 'x' elevada a una potencia 'n'. El objetivo es encontrar una solución 'y' que satisfaga esta ecuación.
Para resolver una ecuación diferencial de Cauchy-Euler, se puede asumir una solución de la forma 'y = x^r', donde 'r' es una constante a determinar. Reemplazando esta solución en la ecuación diferencial, se obtiene una ecuación polinomial en términos de 'r'.
Dependiendo de las raíces obtenidas, se pueden obtener diferentes formas de soluciones para la ecuación diferencial:
- Si las raíces son reales y diferentes, la solución general será una combinación lineal de términos polinomiales y logarítmicos.
- Si las raíces son reales e iguales, la solución general contendrá términos polinomiales y logarítmicos multiplicados por potencias de 'x'.
- Si las raíces son complejas conjugadas, la solución general contendrá términos polinomiales y logarítmicos multiplicados por potencias de 'x' y funciones trigonométricas.
Una vez que se obtiene la solución general, se pueden aplicar condiciones iniciales o límites para determinar los valores de las constantes y obtener una solución particular.
Las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler son utilizadas en diversos campos como la física, la ingeniería y las ciencias aplicadas para modelar sistemas y fenómenos que siguen patrones específicos.
Formulas:
$$\dotsb + a_3x^3y'''+a_2x^2y''+a_1xy'+a_0y=0$$
$$\text{Cambio: }t=lnx,\:\:x=e^t \text{( Para trasformar a coeficientes constantes)}$$
$$xy'=y'(t)=\vartheta y$$
$$x^2y'' = y''(t)-y'(t)=\vartheta (\vartheta -1)y$$
$$x^3y''' = y'''(t)-3y''(t)+2y'(t) = \vartheta (\vartheta -1)(\vartheta -2)y$$
$$\dotsb$$
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