Teorema Fundamental del Cálculo
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Descripción:
El Teorema Fundamental del Cálculo es uno de los resultados fundamentales en el campo del cálculo integral y establece una relación importante entre la derivación y la integración de funciones. Este teorema consta de dos partes:
- Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I: Si 'f(x)' es una función continua en el intervalo '[a, b]' y 'F(x)' es cualquier función primitiva (antiderivada) de 'f(x)' en ese intervalo, entonces se cumple que:
∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Esto significa que la integral definida de una función continua 'f(x)' en el intervalo '[a, b]' se puede calcular encontrando una función primitiva 'F(x)' de 'f(x)' y evaluando esa función en los límites del intervalo.
- Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II: Si 'F(x)' es continua en un intervalo '[a, b]' y 'f(x)' es su función derivada, entonces se cumple que:
∫[a, b] f(x) dx = F(x) ∣[a, b] = F(b) - F(a)
Esto significa que la integral definida de la función derivada 'f(x)' de una función 'F(x)' en el intervalo '[a, b]' es igual a la diferencia entre los valores de 'F(x)' evaluados en los límites del intervalo.
El Teorema Fundamental del Cálculo es un resultado esencial en el cálculo integral, ya que proporciona una conexión profunda entre la derivación y la integración, permitiendo calcular integrales definidas y encontrar funciones primitivas de manera eficiente.
Formulas:
$$\int _{a}^{b} f(x)dx = F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
$$\int _{b}^{a} f(x)dx = - \int _{a}^{b} f(x)dx$$
$$\int _{a}^{a} f(x)dx = 0$$
$$\int _{a}^{b} kf(x)dx = k \int _{a}^{b} f(x)dx$$
$$\int _{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]dx = \int _{a}^{b} f(x)dx \pm \int _{a}^{b} g(x)dx$$
$$\int _{a}^{b} f(x)dx = \int _{a}^{k} f(x)dx + \int _{k}^{b} f(x)dx$$
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