Propiedades de los Límites
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Descripción:
Las propiedades de los límites son reglas que nos permiten calcular límites más fácilmente o deducir información sobre los límites a partir de propiedades de las funciones.
Las propiedades más comunes son:
- Propiedad de la suma/resta: El límite de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de los límites respectivos, es decir, lim[f(x) ± g(x)] = lim[f(x)] ± lim[g(x)].
- Propiedad del producto: El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites respectivos, es decir, lim[f(x) * g(x)] = lim[f(x)] * lim[g(x)].
- Propiedad del cociente: El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites respectivos, siempre y cuando el límite del denominador sea diferente de cero, es decir, lim[f(x) / g(x)] = lim[f(x)] / lim[g(x)], si lim[g(x)] ≠ 0.
- Propiedad de la constante: El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función, es decir, lim[c * f(x)] = c * lim[f(x)].
- Propiedad de la composición: El límite de la composición de dos funciones es igual a la composición de los límites respectivos, es decir, lim[f(g(x))] = f(lim[g(x)]), siempre y cuando f sea continua en el límite de g(x).
Estas propiedades nos permiten simplificar el cálculo de límites y deducir información importante sobre el comportamiento de las funciones. Sin embargo, es importante tener en cuenta las condiciones de aplicabilidad de cada propiedad.
Formulas:
$$\lim_{x \to c} k = k$$
$$\lim_{x \to c} kf(x) = k \lim_{x \to c} f(x)$$
$$\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$$
$$\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)$$
$$\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$$
$$\lim_{x \to c} \biggl[ \frac {f(x)}{g(x)} \biggr] = \frac {\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$$
$$\lim_{x \to c} [f(x) ^ {g(x)}] = \lim_{x \to c} f(x) ^ {\lim_{x \to c} g(x)}$$
$$\lim_{x \to c} \log f(x) = \log \lim_{x \to c} f(x)$$
Límites laterales
\( \lim_{x \to c} f(x) = L \) sí y solo si $$\lim_{x \to c^+} f(x) = L $$
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = L $$
Límites al infinito
$$\lim_{x \to +\infty} \frac {k}{x^n} = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \frac {k}{x^n} = 0$$
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