Criterio de la Segunda Derivada

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Descripción:

El criterio de la segunda derivada es una herramienta utilizada en cálculo y análisis de funciones para determinar el comportamiento de una función en base a la información de su segunda derivada.

El criterio establece lo siguiente:

• Si la segunda derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
• Si la segunda derivada de una función es negativa en un intervalo, entonces la función es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
• Si la segunda derivada de una función cambia de signo en un punto, entonces existe un punto de inflexión en ese punto (donde la función cambia su concavidad).

El criterio de la segunda derivada nos permite analizar el comportamiento de una función en términos de su concavidad y determinar la existencia de puntos de inflexión. Es una herramienta importante para el estudio de funciones y su aplicación en diversos campos, como la optimización y el análisis de funciones en ciencias naturales y sociales.

Formulas:

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$$f'(x) > 0 \rightarrow f(x)$$

Concava hacia arriba

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$$f'(x) < 0 \rightarrow f(x)$$

Concava hacia abajo

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Aplicaciones:

La aplicación directa del criterio de la segunda derivada es determinar si los puntos críticos de una función (puntos que anulan la primera derivada) son máximos o mínimos.

Si hay extremos, podemos deducir la monotonía de la función alrededor de éstos.

Además de esto, los puntos que anulan la segunda derivada son candidatos a ser puntos de inflexión (puntos donde la curvatura de la función cambia de tipo (concavidad y convexidad)).