Criterio de la Primera Derivada

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Descripción:

El criterio de la primera derivada es una herramienta utilizada en cálculo y análisis de funciones para determinar el comportamiento de una función en base a la información de su primera derivada.

El criterio establece lo siguiente:

• Si la primera derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces la función es creciente en ese intervalo.
• Si la primera derivada de una función es negativa en un intervalo, entonces la función es decreciente en ese intervalo.
• Si la primera derivada de una función cambia de signo en un punto, entonces existe un punto crítico en ese punto (donde la función puede tener un máximo local, mínimo local o punto de inflexión).

El criterio de la primera derivada nos permite analizar el comportamiento de una función en términos de su monotonía y determinar la existencia de puntos críticos. Es una herramienta importante para el estudio de funciones y su aplicación en diversos campos, como la optimización y el análisis de funciones en ciencias naturales y sociales.

Formulas:

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$$f'(x) > 0 \rightarrow f(x) \: \text{Creciente}$$

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$$f'(x) < 0 \rightarrow f(x) \: \text{Decreciente}$$

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$$f'(x) = 0 \rightarrow f(x) \: \text{Constante}$$

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Aplicaciones:

Además de la proporcionar la monotonía de la función, el criterio de la primera derivada se utiliza para hallar extremos relativos y determinar su tipo (máximo o mínimo).

Si c es un punto crítico de f, entonces:

Si f es creciente a la izquierda de c y decreciente a su derecha, c es un máximo.

Si f es decreciente a la izquierda de c y creciente a su derecha, c es un mínimo.

Si la monotonía de f es igual a ambos lados de c, entonces c no es un extremo relativo.