Números Complejos en Algebra
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Descripción:
Los números complejos son una extensión del sistema de números reales que incluye una unidad imaginaria, denotada por la letra i. Un número complejo se compone de dos partes: una parte real y una parte imaginaria.
La forma general de un número complejo es z = a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. El número complejo se representa en un plano complejo, donde el eje x representa la parte real y el eje y representa la parte imaginaria.
Los números complejos tienen propiedades interesantes, como la suma, resta, multiplicación y división. Además, tienen una representación polar que involucra la magnitud (módulo) y el argumento (ángulo).
Los números complejos son ampliamente utilizados en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas para resolver problemas que involucran cantidades imaginarias o complejas.
Formulas:
$$i = \sqrt{-1}$$
$$i^2 = -1$$
$$i^3 = -i$$
$$i^4 = 1$$
$$\sqrt{-a} = i\sqrt{a}, a\geq 0$$
$$(a+bi)+(c+di) = a + c + (b + d)i$$
$$(a+bi)-(c+di) = a - c + (b - d)i$$
$$(a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad + bc)i$$
$$(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$$
$$|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
$$\overline{(a+bi)} = a - bi$$
$$\overline{(a+bi)}(a+bi) = |a - bi|^2$$
$$\frac{1}{a+bi} = \frac{a - bi}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{a-bi}{a^2 + b^2}$$
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