Vectores - Producto cruz
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Descripción:
El producto cruz, también conocido como producto vectorial o producto externo, es una operación matemática utilizada para combinar dos vectores y obtener un tercer vector que es perpendicular a ambos vectores originales.
El producto cruz entre dos vectores A y B se calcula utilizando la siguiente fórmula:
A × B = |A| |B| sin(θ) n
Donde A y B son los vectores, |A| y |B| son sus magnitudes, θ es el ángulo entre ellos, y n es un vector unitario perpendicular al plano formado por A y B, siguiendo la regla de la mano derecha.
El resultado del producto cruz es un nuevo vector que es perpendicular al plano formado por los vectores originales. Su magnitud está dada por el producto de las magnitudes de los vectores originales y el seno del ángulo entre ellos.
El producto cruz se utiliza en diversas áreas, como física, geometría, ingeniería y ciencias de la computación. Se utiliza para calcular momentos de fuerza, encontrar vectores normales y tangentes, y realizar cálculos relacionados con áreas y volúmenes en el espacio tridimensional.
El producto cruz cumple propiedades importantes, como la anticonmutatividad (A × B = -B × A), la distributividad respecto a la suma de vectores (A × (B + C) = A × B + A × C) y la propiedad de linealidad (c(A × B) = (cA) × B = A × (cB)), donde c es un escalar.
Formulas:
$$A\text{ x }B=\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}i-\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}j+\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}k$$
$$A\text{ x }B=(a_yb_z-b_ya_z)i-(a_xb_z-b_xa_z)j+(a_xb_y-b_xa_y)k$$
$$A\text{ x }B=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$$
Determinante:
$$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=(a\cdot d)-(b\cdot c)$$
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