Sistemas Lineales Homogéneos
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Descripción:
Un sistema lineal homogéneo es un sistema de ecuaciones lineales en el que todos los términos constantes son cero. Es decir, las ecuaciones del sistema se expresan de la siguiente forma:
A1x1 + A2x2 + ... + Anxn = 0
donde A1, A2, ..., An son los coeficientes de las variables x1, x2, ..., xn, respectivamente.
Un sistema lineal homogéneo siempre tiene al menos una solución trivial, que es la solución en la que todas las variables toman el valor cero. Sin embargo, puede tener otras soluciones no triviales si el sistema es compatible indeterminado, es decir, si hay infinitas soluciones que satisfacen las ecuaciones.
La forma de encontrar las soluciones de un sistema lineal homogéneo es utilizando métodos como la eliminación de Gauss, la descomposición LU o la matriz inversa. Estos métodos permiten determinar las condiciones en las variables que satisfacen el sistema y encontrar soluciones no triviales si existen.
Los sistemas lineales homogéneos son de gran importancia en el álgebra lineal y tienen aplicaciones en áreas como la física, la economía, la ingeniería y la ciencia de datos.
Formulas:
Es cuando el vector columna de los términos independientes B es nula. AX=0 ; B=0
Un sistema homogeneo siempre tiene soluciones o siempre es consistente.
- Unica Sol.: x1 = x2 = x3 = ... = 0 Trivial.
- Infinitas Sol.: incluye solución Trivial.
1. Homogéneo Cuadrado: [A] = O infinitas Sol.
|A| ≠ 0 Sol. Trivial x1 = x2 = x3 = ... = 0
2. Homogéneo No Cuadrado:
# Ec. < # Incógnitas → Infinitas sol
# Ec. > # Incógnitas → Unica sol. Infinitas sol.
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