Propiedades de los Determinantes
Categoria: formulae.app / Matemáticas / Álgebra Lineal / Propiedades de los Determinantes
Descripción:
Los determinantes tienen varias propiedades importantes que los hacen útiles en álgebra lineal y cálculo. A continuación se describen algunas de las propiedades más comunes:
- Propiedad 1: El determinante de una matriz se mantiene igual si se intercambian filas o columnas.
- Propiedad 2: El determinante de una matriz se multiplica por un escalar si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por ese escalar.
- Propiedad 3: Si una matriz tiene una fila o columna de ceros, su determinante es cero.
- Propiedad 4: El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
- Propiedad 5: El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
- Propiedad 6: El determinante de la matriz inversa es el inverso del determinante de la matriz original.
- Propiedad 7: El determinante de la multiplicación de dos matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices individuales.
Estas propiedades son fundamentales para el cálculo y la manipulación de determinantes en diferentes contextos matemáticos y aplicaciones prácticas.
Formulas:
$$1. \:\:\: |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} \qquad dte(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$$
$$2. \:\:\: |A\cdot B|= |A|\cdot|B|$$
$$3. \:\:\:k|A|=\begin{vmatrix}ka_{11}&ka_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}ka_{11}&a_{12} \\ ka_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$$
$$4. \:\:\:|A^{-1}|=|A|^{-1} \qquad ; \qquad ||A||=|A|^n$$
$$5. \:\:\:|KA_{n\text{x}n}|=k^n|A_{n\text{x}n}|$$
$$6. \:\:\:|A^m|=|A|^m \qquad 1ro|A|luego|A|^m$$
$$7. \:\:\:|A^t|=|A| \qquad det(A^t)=det(A)$$
$$8. \:\:\:|A|=-|B| \:\:\:\: \text{Intercambiar} \left\{\begin{matrix}f_1 \leftrightarrow f_2 \\ c_1 \leftrightarrow c_2\end{matrix}\right.$$
Si en un determinante se intercambian Filas o Columnas, el nuevo determinante queda multiplicado por (-)
9. Si Amxn tiene una Fila o una Columna compuestas por ceros, entonces |A|=0.
$$\begin{vmatrix}0&0\\a&b\end{vmatrix}=0 \:\:\: ; \:\:\: \begin{vmatrix}a&a\\b&b\end{vmatrix}=0$$
10. Si Amxn tiene dos Filas o dos Columnas iguales, entones |A|=0.
$$\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}=0 \:\:\: ; \:\:\: \begin{vmatrix}a&a\\b&b\end{vmatrix}=0$$
11. Si Anxn tiene una Fila o una Columna que es múltiplo del otro (L.D.) entonces:
$$|A|=0\:\:\: ; \:\:\:\begin{vmatrix}3&5\\2\cdot 3&2 \cdot 5\end{vmatrix}=0 \:\:\: ; \:\:\: \begin{vmatrix}3&2 \cdot 3\\5&2 \cdot 5\end{vmatrix}=0$$
12. Si Anxn tiene una Fila o una Columna que es una combinación de las demás Filas o Columnas. entones |A|=0
$$\begin{vmatrix}a&b&c \\ d&e&f \\ a+d&b+e&c+f\end{vmatrix}=0$$
13. Si una Fila o una Columna se multiplica por k, entonces el determinante de la matriz se multiplica por la inversa de k.
$$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\frac{1}{k}\begin{vmatrix}ka&kb\\c&d\end{vmatrix}$$
14. La determinante de una Matriz Triangular Superior o Inferior es el producto de los elementos de la diagonal:
$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ 0&a_{22}&a_{23} \\ 0&0&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}$$
15. Suma de Determinantes
$$\begin{vmatrix}a+c&b+d\\x&y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\x&y\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c&d\\x&y\end{vmatrix}$$
También cumple para determinantes de 3x3, 4x4, etc.
16. |adj(Anxn)| = |A|n-1
17. adj(adj(Anxn))=|A|n-2A
PlayStore
AppStore