Propiedades de las Matrices (Producto)
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Descripción:
En el álgebra lineal, las matrices también tienen propiedades para la operación de producto. El producto de matrices se define para dos matrices A y B si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.
El producto de matrices se obtiene multiplicando cada elemento de una fila de la matriz A por cada elemento de una columna de la matriz B, y sumando los resultados. Si A es una matriz de tamaño m x n y B es una matriz de tamaño n x p, entonces el producto se define como:
A * B = [cij], donde cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ... + ain*bnj
El producto de matrices cumple con las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa: (A * B) * C = A * (B * C)
- Propiedad distributiva con respecto a la suma: A * (B + C) = A * B + A * C
- Propiedad distributiva con respecto a la multiplicación escalar: k(A * B) = (kA) * B = A * (kB)
Formulas:
$$A_{m\text{x}n} \cdot B_{p\text{x}q} = C_{m\text{x}q}$$
$$\text{Donde: } n=p$$
$$A(B + C) = AB + AC$$
$$(A+ B)C = AC + BC$$
$$A(BC) = (AB)C$$
$$AI = A \: ; \: \text{ matriz indentidad}$$
$$AB \neq BA \: ; \: \text{ en el producto}$$
$$k \cdot A_{mxn} = [k \cdot a_{ij}]$$
$$k \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka & kb \\ kc & kd \end{bmatrix} \qquad k=\text{escalar}$$
$$k(A + B) = kA + kB$$
$$k_1 (k_2 A) = (k_1 k_2)A$$
$$(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$$
ya que el producto no es conmutativo
No cumple la propiedad cancelativa:
$$AB = AC ??$$
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