Propiedades de las Matrices (Polinomial)
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Descripción:
En el álgebra lineal, las matrices también pueden ser evaluadas usando polinomios. Esto implica que se puede sustituir la matriz en un polinomio y calcular el resultado correspondiente.
Sea P(x) un polinomio dado y A una matriz, entonces se define el polinomio de la matriz como:
P(A) = c0I + c1A + c2A2 + ... + cnAn
donde c0, c1, ..., cn son coeficientes del polinomio y I es la matriz identidad del mismo tamaño que A.
Las propiedades de las matrices en la evaluación polinomial son las siguientes:
- Propiedad conmutativa: Si P(x) es un polinomio y A una matriz, entonces P(A) = AP(x) = P(A).
- Propiedad distributiva: Si P(x) y Q(x) son polinomios y A una matriz, entonces (P(x) + Q(x))(A) = P(A) + Q(A).
- Propiedad asociativa: Si P(x) es un polinomio y A una matriz, entonces (P(x)Q(x))(A) = P(A)Q(A).
Formulas:
$$P_{(x)}=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dotsb + a_nx^n$$
Si A = matriz, entonces se define:
$$P_{(A)}=a_0I + a_1A + a_2A^2 + \dotsb + a_nA^n$$
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