Propiedades de la Inversa
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Descripción:
La matriz inversa tiene varias propiedades importantes que la hacen útil y relevante en el álgebra lineal. Algunas de estas propiedades son:
- La matriz inversa de una matriz inversa es la matriz original: (A^(-1))^(-1) = A.
- El producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad: A * A^(-1) = I, donde I es la matriz identidad.
- Si se multiplica una matriz por un escalar y luego se invierte, es equivalente a invertir primero y luego multiplicar por el escalar: (kA)^(-1) = k^(-1) * A^(-1), donde k es un escalar no nulo.
- La inversa de la matriz producto es el producto de las inversas en orden inverso: (AB)^(-1) = B^(-1) * A^(-1).
- La matriz inversa de la matriz transpuesta es igual a la transpuesta de la matriz inversa: (A^T)^(-1) = (A^(-1))^T.
Estas propiedades son fundamentales en el estudio y aplicación de las matrices inversas en álgebra lineal. Permiten simplificar cálculos y resolver ecuaciones de manera eficiente.
Formulas:
$$1.- \:\: AA^{-1}=A^{-1}A=I$$
$$2.- \:\: (A^{-1})^{-1}=A$$
$$3.- \:\: (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
$$4.- \:\: |A^{-1}|=|A|^{-1} \qquad 1ro|A| \: luego|A|^{-1}$$
$$5.- \:\: (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$$
$$6.- \:\: A^{-n}=(A^{-1})^n=\begin{matrix}\underbrace{A^{-1}A^{-1} \dotsb A^{-1}}\\ \text{n factores}\end{matrix}$$
$$(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n \qquad 1ro \: A^{-1} \:\: (n\geq 0)$$
$$7.- \:\: (A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$$
$$8.- \:\: (A^{-1})^tA^t=(AA^{-1})^t=I^t=I$$
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