Propiedades de la Adjunta
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Descripción:
La adjunta de una matriz tiene varias propiedades importantes que son útiles en el álgebra lineal y en diversos cálculos matriciales. Algunas de las propiedades más relevantes de la adjunta son:
- La adjunta de la adjunta de una matriz es la matriz original: (A*)* = A
- La adjunta de un producto de matrices es igual al producto de las adjuntas en orden inverso: (AB)* = B* A*
- La adjunta de la suma de matrices es igual a la suma de las adjuntas: (A + B)* = A* + B*
- La adjunta de la matriz identidad es la matriz identidad misma: I* = I
- La adjunta del producto de una matriz por un escalar es igual al producto del escalar por la adjunta: (cA)* = c A*
- La adjunta del producto de una matriz por su inversa es igual a la adjunta de la inversa por la adjunta: (A A^-1)* = (A^-1)* A* = I
Estas propiedades son fundamentales para el estudio de las matrices y su manipulación en cálculos matriciales.
Formulas:
$$1.- \:\:\: adj(I_n)=I_n$$
$$2.- \:\:\: adj(A\cdot B)=adj(B) \cdot adj(A)$$
$$3.- \:\:\: adj(A^n)=[adj(A)]^n$$
$$4.- \:\:\: adj(A^t)=[adj(A)]^t$$
$$5.- \:\:\: adj(A^{-1})=[adj(A)]^{-1}$$
$$6.- \:\:\: adj(A^{-1})=\frac{A}{|A|} \:\:\: ; \:\:\: A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)$$
$$7.- \:\:\: A \cdot adj(A)=adj(A) \cdot A=|A| \cdot I_n$$
$$8.- \:\:\: adj(kA_n)=k^{n-1}adj(A_n)$$
$$9.- \:\:\: adj(kA)=|kA|(kA)^{-1}$$
$$10.- \:\:\: adj[adj(A_n)]=|A_n|^{n-2}A_n$$
$$11.- \:\:\: adj[adj(A)]=|adj(A)|[adj(A)]$$
$$12.- \:\:\: adj[adj(A_{2x2})]=A_{2x2}$$
$$13.- \:\:\: |adj(A_n)|=|A_n|^{n-1}$$
$$14.- \:\:\: |adj(kA_n)|=(k^{n-1})^n|A_n|^{n-1}$$
$$15.- \:\:\: |adj(adj(A_n))|=|A_n|^{(n-1)^2}$$
$$n\text{ = orden de la matriz}$$
$$16.- \:\:\: \text{Si: }adj(A_n)=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$$
$$\text{Se cumple: }|A_n|^2=|adj(A_n)|$$
$$17.- \:\:\: A_n=|A_n|\cdot [adj(A_n)]^{-1}$$
$$18.- \:\:\: |adj(A)^n|=|A^{n-1}|^n$$
$$19.- \:\:\: ||A||=|A|^n$$
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