Operaciones y Matrices Elementales
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Descripción:
Las operaciones y matrices elementales son herramientas fundamentales en el álgebra lineal para realizar transformaciones en las matrices. Estas operaciones permiten manipular las filas y columnas de una matriz de forma sistemática y se utilizan en diversos contextos, como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y el cálculo de determinantes e inversas de matrices.
Algunas de las operaciones elementales comunes son:
- Intercambiar filas o columnas: Consiste en intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz.
- Multiplicar una fila o columna por una constante no nula: Se multiplica todos los elementos de una fila o columna por una constante distinta de cero.
- Sumar o restar múltiplos de una fila o columna a otra fila o columna: Se agrega o se resta un múltiplo de una fila o columna a otra fila o columna.
Formulas:
Operaciones Elementales
$$1. \: kf_i \rightarrow f_i \qquad kc_j \rightarrow C_j \:\: \text{Múltiplo}$$
$$2. \: f_\rho \leftrightarrow f_i \qquad C_\rho \leftrightarrow C_j \:\: \text{Intercambiar}$$
$$3. \: kf_\rho + f_i \rightarrow f_i \qquad kC_\rho + C_j \rightarrow C_j$$
Suma de la fila o columna con el múltiplo escalar de otra fila o columna
Matriz Elemental
$$\text{Sea: }A=\begin{matrix}\begin{bmatrix}a11&a12\\a21&a22\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}a11&a12\\a21&a22\end{bmatrix} \\ \: & kf_\rho + f_l \rightarrow f_l \end{matrix}=E_1$$
$$\begin{matrix} E_1=E_2 \\ kf_\rho + f_l \rightarrow f_l \end{matrix} \qquad \begin{matrix} E_2=E_3 \\ kf_\rho + f_l \rightarrow f_l \end{matrix} \:\: ...$$
Matriz Elemental
$$A_{m\text{x}n} \equiv B_{m\text{x}n}$$
si cumple:
$$E_n \: ... \: E_2E_1A=B$$
$$\begin{matrix}A \: \underbrace{E_1E_2...E_n} =B\\ \text{Matriz de Paso} \end{matrix}$$
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