Números Complejos en Algebra Lineal
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Descripción:
Los números complejos son una extensión del sistema de números reales que incluyen una parte imaginaria. Un número complejo se define como la suma de una parte real y una parte imaginaria, y se representa en la forma a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
La parte imaginaria se denota con la letra i, que representa la unidad imaginaria, y se define como la raíz cuadrada de -1, es decir, i² = -1.
Los números complejos tienen varias propiedades y operaciones asociadas, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Además, se pueden representar en el plano complejo utilizando el eje real (horizontal) y el eje imaginario (vertical).
Algunas propiedades notables de los números complejos incluyen:
- Conjugado: El conjugado de un número complejo a + bi es a - bi.
- Módulo: El módulo de un número complejo se define como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su parte real y su parte imaginaria.
- Forma polar: Los números complejos también se pueden representar en forma polar utilizando el módulo y el argumento, donde el argumento es el ángulo que forma el número complejo con el eje real.
Los números complejos son ampliamente utilizados en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas para describir fenómenos que involucran cantidades imaginarias, como corrientes alternas, ondas y circuitos eléctricos.
Formulas:
$$z=a+bi,$$
$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\:tan\:\alpha\:=\frac{b}{a}\rightarrow\alpha =tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$$
Paso de forma polar a binómica
a = r cos α , b= r sen α
Forma trigonométrica
2 = r cos α + (r sin α)i = r(cos α + i sin α)
Operaciones de números complejos
$$r_a \cdot r'_a = (r \cdot r')_{a+a'}$$
$$\frac{r_a}{r'_a}=\left(\frac{r}{r'}\right)_{a-a'}$$
$$(r_a)^n=r_a \cdot r_a \cdot r_a \cdots r_a = (r^n)_{na}$$
Formula de Moivre
$$z^n=r^n(cos\:n\alpha + i\: sen\:n\alpha)$$
Raíces de números complejos
$$\sqrt[n]{r_{\alpha}}=(\sqrt[n]{r})_{\frac{\alpha+360_ok}{n}}$$
Potencias de i
$$i^0=1,\qquad i^1=i, \qquad i^2=-1$$
$$i^0=-i,\qquad i^4=1, \qquad i^5=i$$
$$\cdots$$
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