Métodos de Solución a Sistema de Ecuaciones Lineales

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Descripción:

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales y encontrar las soluciones correspondientes. Algunos de los métodos más utilizados son:

Método de eliminación de Gauss: Este método consiste en transformar el sistema de ecuaciones en una forma escalonada o triangular mediante operaciones elementales de fila. Una vez obtenida esta forma, se pueden deducir los valores de las variables de forma directa.
Método de la matriz inversa: Este método utiliza la matriz inversa para encontrar la solución del sistema. Se multiplica ambos lados del sistema por la matriz inversa de los coeficientes, lo que permite despejar las variables desconocidas.
Método de Cramer: Este método se basa en la regla de Cramer, que utiliza determinantes para encontrar la solución del sistema. Se calculan determinantes relacionados con el sistema de ecuaciones y se obtienen los valores de las variables a partir de estos determinantes.
Método de descomposición LU: Este método descompone la matriz de coeficientes en el producto de dos matrices: una matriz triangular inferior (L) y una matriz triangular superior (U). Luego se resuelven dos sistemas de ecuaciones triangulares para obtener los valores de las variables.

Estos métodos proporcionan diferentes enfoques para resolver sistemas de ecuaciones lineales y se utilizan en diversas aplicaciones prácticas, como la resolución de problemas de ingeniería, física, economía y ciencias de la computación.

Formulas:

Solucion por la Inversa

Solo sirve para sistemas: Cuadrados, que tienen única solución A_{nxn_Xnx1} = B_nx1.

# Ec. = # Incognitas. El |A|≠0.

$$AX=B \rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B \rightarrow X=A^{-1}B$$

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A) \qquad |A|\neq 0$$

Solución por Gauss-Jordán

Aplicable a sist. tipo: A_mxnX_nx1 = B_mx1

# Ec. < # Incognitas

Matriz aumentada: [A|B] → [A₁|B₁]

Escalonar la matriz aumentada al maximo, por Op. Elem. preferentemente en Filas.

Solución por el método de Cramer

Solo sirve para sistemas: Cuadrados, que tienen única solución A_{nxn_Xnx1} = B_nx1

# Ec. = # Incognitas. El |A|≠0.

Algoritmo de Cramer:

Si: A_nxn

$$A_{n\text{x}n}=[C_1|C_2|C_3|\cdots |C_n]$$

$$A_1=[B|C_2|C_3|\cdots |C_n]$$

$$A_2=[C_1|B|C_3|\cdots |C_n]$$

$$A_3=[C_1|C_2|B|\cdots |C_n]$$

$$\vdots$$

$$A_n=[C_1|C_2|C_3|\cdots |B]$$

Si: B

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}$$

$$x_3=\frac{|A_3|}{|A|}$$

$$\cdots$$

Paginación de: Álgebra Lineal

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