Matriz Involutiva y Matriz Ortogonal
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Descripción:
Las matrices involutivas y las matrices ortogonales son dos tipos de matrices con propiedades especiales en el ámbito del álgebra lineal.
Matriz Involutiva: Una matriz es involutiva si al elevarla al cuadrado, el resultado es la matriz identidad. En otras palabras, si \(A\) es una matriz involutiva, entonces \(A^{2} = I\), donde \(I\) es la matriz identidad. Las matrices involutivas tienen aplicaciones en geometría, transformaciones lineales y criptografía.
Matriz Ortogonal: Una matriz es ortogonal si su traspuesta es igual a su inversa. En términos matemáticos, si \(A\) es una matriz ortogonal, entonces \(A^{T} \cdot A = I\), donde \(I\) es la matriz identidad. Las matrices ortogonales tienen propiedades especiales, como preservar la longitud y el ángulo entre vectores, y se utilizan en problemas de rotación, transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.
Estas propiedades distintivas de las matrices involutivas y ortogonales permiten su utilización en una variedad de aplicaciones matemáticas, científicas y tecnológicas.
Formulas:
Matriz Involutiva
Una matriz cuadrada
$$A=A_{n\text{x}n} \:\: y \:\: k=2$$
Es Involutiva si cumple las dos condiciones:
$$A^k =A \:\: \text{si k es Impar}$$
$$A^k =I \:\: \text{si k es Par}$$
$$A_2=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$$
$$A_2=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&-1&0 \\ 0&0&-1\end{bmatrix}$$
Matriz Ortogonal
Una matriz cuadrada
$$A=A_{n\text{x}n}$$
Es Ortogonal, si cumple:
$$A \cdot A^t = A^t \cdot A = 1$$
Es decir:
$$A^{-1}=A^t$$
$$\begin{bmatrix}sin \: x & -cos \: x \\ cos \: x & sin : x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}sin \: x & cos \: x \\ -cos \: x & sin : x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$$
Recuerda que:
$$sin^2 \: x + cos^2 \: x = 1$$
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