Matriz Fila, Columna y Transpuesta
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Descripción:
En el álgebra lineal, se utilizan diferentes términos para referirse a las matrices según su estructura y operaciones asociadas. Algunos de estos términos incluyen matriz fila, matriz columna y matriz transpuesta.
Una matriz fila es una matriz que tiene una sola fila y varios elementos en esa fila. Por ejemplo, una matriz fila puede ser representada como [a1, a2, a3, ...].
Por otro lado, una matriz columna es una matriz que tiene una sola columna y varios elementos en esa columna. Por ejemplo, una matriz columna puede ser representada como:
a1
a2
a3
La matriz transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando sus filas por columnas. Es decir, si tenemos una matriz A, su transpuesta se representa como AT. Si A tiene dimensiones m x n, entonces AT tiene dimensiones n x m.
Estas estructuras y operaciones son útiles en el análisis y manipulación de matrices, y se utilizan en una variedad de campos, incluyendo la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y la transformación de datos en el procesamiento de imágenes y señales.
Formulas:
Matriz Fila
Es una matriz que consta de una única fila
$$A_{1\text{x}n}= [a_{1j}]\in lR^{1\text{x}n}$$
$$A_{1\text{x}n}= [a_{11} \:\: a_{12} \:\:a_{13} \:\: \dotsb \:\: a_{1n}]\in lR^{1\text{x}n}$$
Matriz Columna
Matriz que tiene una única columna
$$A_{m\text{x}1}= [a_{i1}]\in lR^{m\text{x}1}$$
$$A_{m\text{x}1}= \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1}\end{bmatrix}$$
Matriz Traspuesta
$$\text{Si }A_{m\text{x}n}\text{ entonces }A^t = A_{n\text{x}m}$$
$$A=[a_{ij}] \rightarrow A^t = [a_{ij}]$$
$$A=[a_1 , a_2 , a_3] \rightarrow A^t = \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix}$$
Propiedades:
$$(A^t)^t= A$$
$$(A + B)^t = A^t + B^t$$
$$(AB)^t = A^t B^t$$
$$(kA)^t = kA^t$$
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