Matriz Diagonal, Diagonal Inversa y Matriz Conjugado
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Descripción:
En el ámbito de las matemáticas y el álgebra lineal, las matrices son estructuras fundamentales para representar y manipular conjuntos de números eficientemente. Destacan tres tipos de matrices: las diagonales, las de diagonal inversa y las conjugadas.
Matriz Diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero. Sus elementos no nulos se encuentran únicamente en dicha diagonal, siendo útiles en simplificación de operaciones matriciales y cálculo de potencias.
Matriz Diagonal Inversa: Sus elementos no nulos son el recíproco de los elementos correspondientes de la matriz original. Se utiliza en resolución de sistemas de ecuaciones y obtención de la inversa de matrices no singulares.
Matriz Conjugada: Se obtiene cambiando el signo de los elementos imaginarios de una matriz compleja. Útil en álgebra lineal compleja y representación de ondas electromagnéticas.
Formulas:
Matriz Diagonal
Es una Matriz que al mismo tiempo es triangular superior e inferior y es cuadrada
$$D_{n\text{x}n}=\begin{bmatrix}d_1&0&\dotsb &0\\0&d_2& \dotsb &0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\dotsb&d_n\end{bmatrix}$$
$$D_{n\text{x}n}^k=D^k =\begin{bmatrix}d_1^k&0&\dotsb &0\\0&d_2^k& \dotsb &0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\dotsb&d_n^k\end{bmatrix}$$
$$D_{n\text{x}n}=\begin{bmatrix}-5&0&0\\0&3&0\\0&0&7\end{bmatrix} \: D= \left\{ \begin{matrix}a_{ij} \neq 0 & i=j \\ a_{ij}=0 & i \neq j\end{matrix}\right.$$
Matriz Diagonal Inversa
$$D_{n\text{x}n}^{-1}=D^{-1} =\begin{bmatrix}\frac{1}{d_1}&0&\dotsb &0\\0&\frac{1}{d_2}& \dotsb &0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\dotsb&\frac{1}{d_n}\end{bmatrix}$$
Matriz Conjugado
$$A=\begin{bmatrix}i&1-i \\ 3&1-2i\end{bmatrix}$$
$$\bar{A}=\begin{bmatrix}-i & 1+i \\ 3&1+2i\end{bmatrix}$$
Propiedades:
$$\bar{A}=A$$
$$\bar{A}^t=\bar{A^t}$$
$$\overline{k \cdot B}=\bar{k} \cdot \bar{B}$$
$$\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}$$
$$\overline{A \cdot B}=\bar{A} \cdot \bar{B}$$
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