Inversión por Fadevva
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Descripción:
El método de inversión por Fadeev, también conocido como método de eliminación de Fadeev, es un algoritmo utilizado para encontrar la matriz inversa de una matriz cuadrada. Este método se basa en la eliminación de Gauss-Jordan y utiliza operaciones elementales de fila para transformar la matriz original en la matriz identidad.
El proceso consta de los siguientes pasos:
- Concatenar la matriz original con una matriz de identidad del mismo tamaño.
- Realizar operaciones elementales de fila para convertir la parte izquierda de la matriz en la matriz identidad.
- Aplicar las mismas operaciones elementales de fila en la parte derecha de la matriz para obtener la matriz inversa.
- Si la parte izquierda de la matriz se ha convertido en la matriz identidad, la parte derecha será la matriz inversa de la matriz original.
El método de inversión por Fadeev es una variante del método de Gauss-Jordan y se utiliza para obtener la matriz inversa de manera eficiente, evitando el cálculo de determinantes.
Este método es ampliamente utilizado en el álgebra lineal y tiene aplicaciones en diversos campos como la ingeniería, la física y la ciencia de datos.
Formulas:
$$A_1=A_n \qquad a_1=\frac{tr(A_1)}{1} \qquad B_1=A_1-a_1 I$$
$$A_2=AB_1 \qquad a_2=\frac{tr(A_2)}{2} \qquad B_2=A_2-a_2 I$$
$$A_3=AB_2 \qquad a_3=\frac{tr(A_3)}{3} \qquad B_3=A_3-a_3 I$$
Hasta:
$$B_n=0=A_n-a_n I \qquad A_n=a_n I \qquad (1)$$
Pero:
$$A_n=AB_{n-1} \qquad (2)$$
$$\text{(1) en (2)}\: a_n I=A \cdot B_{n-1} \qquad //A^{-1}$$
$$A^{-1}=\frac{B_{n-1}}{a_n}$$
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