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Inversión Matriz de Cofactores

Categoria: formulae.app / Matemáticas / Álgebra Lineal / Inversión Matriz de Cofactores

Descripción:

La inversión de una matriz utilizando la matriz de cofactores es un método que permite encontrar la matriz inversa de una matriz cuadrada. Este método se basa en los cofactores de la matriz original y se utiliza para calcular la matriz adjunta y el determinante.

El proceso para encontrar la inversa de una matriz mediante la matriz de cofactores es el siguiente:

  1. Calcular los cofactores de cada elemento de la matriz original.
  2. Construir la matriz de cofactores utilizando los cofactores calculados.
  3. Calcular la matriz adjunta transponiendo la matriz de cofactores.
  4. Calcular el determinante de la matriz original.
  5. Obtener la matriz inversa dividiendo la matriz adjunta por el determinante.

La matriz de cofactores y la matriz adjunta son fundamentales en el proceso de inversión de matrices utilizando la matriz de cofactores. Este método se utiliza en álgebra lineal y tiene aplicaciones en el cálculo de transformaciones lineales y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Formulas:

Sea la Matriz:

$$A=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$$

La matriz de cofactores es:

$$cof(A)=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13} \\ c_{21}&c_{22}&c_{23} \\ c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix} \qquad |A_{11}|=\begin{vmatrix}e&f \\ h&i\end{vmatrix}$$

$$c_{11}=(-1)^{1+1}|A_{11}| \qquad c_{12}=(-1)^{1+2}|A_{12}|$$

$$c_{13}=(-1)^{1+3}|A_{13}| \qquad c_{21}=(-1)^{2+1}|A_{21}|$$

$$c_{22}=(-1)^{2+2}|A_{22}| \qquad c_{23}=(-1)^{2+3}|A_{23}|$$

$$c_{31}=(-1)^{3+1}|A_{31}| \qquad c_{32}=(-1)^{3+2}|A_{32}|$$

$$c_{33}=(-1)^{3+3}|A_{33}|$$

$$cof(A)=\begin{bmatrix}+\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}d&e\\g&h \end{vmatrix} \\-\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}a&b\\g&h\end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}\end{bmatrix}$$

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)=\frac{1}{|A|}[cof(A)]^t$$

Paginación de: Álgebra Lineal

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