Factorización PAQ=B
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Descripción:
La factorización PAQ=B es un método utilizado en álgebra lineal para descomponer una matriz B en el producto de tres matrices P, A y Q. La matriz P es una matriz de permutación, la matriz A es una matriz triangular superior o inferior y la matriz Q es una matriz ortogonal.
El proceso de factorización PAQ=B se puede resumir en los siguientes pasos:
- Se parte de la matriz B y se descompone en las matrices P, A y Q.
- Se establece una matriz inicial para P, A y Q.
- Se realiza un proceso iterativo donde se tantean los valores de P, A y Q y se comprueba si el producto PAQ es igual a B.
- Si el producto PAQ es igual a B, se ha encontrado la factorización PAQ=B. Si no, se ajustan los valores de P, A y Q y se repite el proceso.
- Durante el proceso, se utilizan operaciones elementales, como intercambios de filas y columnas, multiplicación de filas o columnas por una constante y suma o resta de múltiplos de filas o columnas, para obtener los valores correctos de P, A y Q.
- Una vez obtenida la factorización PAQ=B, se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales y realizar otros cálculos.
Formulas:
Si queremos expresar A en forma PAQ = B con A y B como datos:
1. Para la forma: PAQ = B
$$(A|I_A) \rightarrow (B_1|P) \rightarrow \left(\frac{I_B}{B_1}\right) \rightarrow \left(\frac{Q}{B}\right)$$
2. Partiendo de A llevaremos a B. haciendo
Op. elem.:
$$\begin{matrix}\underbrace{F_n...F_2F_1} \\ P\end{matrix} \:\: A \:\: \begin{matrix}\underbrace{C_1C_2...C_n} \\ Q\end{matrix}=B$$
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