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Factorización LU=A (Metodo: Tanteo, Ecuaciones y Operaciones Elementales)

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Formulas:


Factorización LU=A

Toda matriz Anxn puede escribirse como el producto de: L•U= A

U = una Matriz Triangular Superior (Upper)

L = una Matriz Triangular Inferior (Lower).

A=L•U

Método de Tanteo para LU:

para U: Comenzar escalonando la matriz A a una Matriz Triangular Superior (Upper):

$$A=\begin{matrix}\begin{bmatrix}2&5 \\ -3&-4\end{bmatrix} \\ \frac{3}{2}f_1+f_2 \rightarrow f_2\end{matrix} \rightarrow U = \begin{bmatrix}2&5 \\ 0&\frac{7}{2}\end{bmatrix}$$

para que a21 sea 0:

$$2x-3=0 \qquad x=\frac{3}{2}$$

Para L:

El factor que hace que se vuelva cero es 3/2

Trasladamos el factor -3/2 cambiado de signo a la posición a21:

$$L=\begin{bmatrix}1&0\\-\frac{3}{2}&1\end{bmatrix} \:\: \text{Finalmente: } A=LU$$


Método de Ecuaciones para LU:

EJ.: La matriz Anxn se puede descomponer

$$L=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}=A \qquad \text{Si: }A=L \cdot U$$

$$A=L \cdot U =\begin{bmatrix}1&0&0 \\ L_{21}&1&0 \\ L_{31}&L_{32}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}&U_{13} \\ 0&U_{22}&U_{23} \\ 0&0&U_{33}\end{bmatrix}$$

Igualando componentes de la matriz A y el producto de L•U Se tiene las ecuaciones:

$$a_{11}=U_{11}$$

$$a_{12}=U_{12}$$

$$a_{21}=L_{21}U_{11}$$

$$a_{22}=L_{21}U_{12}+U_{22}$$

$$a_{13}=U_{13}$$

$$a_{31}=L_{31}U_{11}$$

$$a_{32}=L_{31}U_{12}+L_{32}U_{22}$$

$$a_{23}=L_{21}U_{13}+U_{23}$$

$$a_{33}=L_{31}U_{13}+L_{32}U_{23}+U_{33}$$

Método L U para resolver Sis. Ec. Lineales:

$$\text{Si: }[A]\{x\}=\{f\} \rightarrow \begin{matrix}\underbrace{[L][U]\{x\}=\{f\}} \\ \{z\}\end{matrix}$$

$$\{z\}= \text{matriz columna nx1 (vector)}$$

$$\{z\}=[U]\{x\} \rightarrow [L]\{z\}=\{f\}$$


Método Operaciones Elementales:

Para U: Comenzar escalonando la matriz A a una Matriz Triangular Superior (Upper), con operaciones elementales:

$$\begin{matrix} [A] \\ 2f_1+f_1 \rightarrow f_1 \end{matrix} =[A_1] \rightarrow E_1^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ -2f_1+f_2 \rightarrow f_2 \end{matrix}$$

$$-2f_1+f_2 \rightarrow f_2 = f_2 - 2f_1 \rightarrow f_2$$

$$\begin{matrix} [A_1] \\ -2f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} =[A_2] \rightarrow E_2^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ 2f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} [A_2] \\ -\frac{1}{2}f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} =[A_3] \rightarrow E_3^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ \frac{1}{2}f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} [A_3] \\ \frac{1}{2}f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} = [A_4] \rightarrow E_4^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ 2f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} [A_4] \\ -\frac{1}{2}f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} = [A_5] \rightarrow E_5^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ -2f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix}$$

$$U=[A_5]=\begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1 \end{bmatrix}= \text{Trian. Sup.}$$

$$E_n ... E_3E_2E_1A=U \qquad A=\begin{matrix} \underbrace{E_1^{-1}E_2^{-1}...E_n^{-1}}U \\ L \\ \text{Luego A=LU}\end{matrix}$$

Paginación de: Álgebra Lineal

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