Factorización LU=A (Metodo: Tanteo, Ecuaciones y Operaciones Elementales)
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Descripción:
La factorización LU, también conocida como descomposición LU, es un método utilizado en álgebra lineal para descomponer una matriz cuadrada A en el producto de dos matrices L y U. La matriz L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal, mientras que la matriz U es una matriz triangular superior. Esta descomposición es útil en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y cálculos de determinantes e inversas de matrices.
El método de factorización LU mediante tanteo, ecuaciones y operaciones elementales se puede resumir en los siguientes pasos:
- Se parte de la matriz A y se descompone en las matrices L y U.
- Se establece una matriz inicial para L y U.
- Se realiza un proceso iterativo donde se tantean los valores de L y U y se comprueba si el producto L*U es igual a A.
- Si el producto L*U es igual a A, se ha encontrado la descomposición LU. Si no, se ajustan los valores de L y U y se repite el proceso.
- Durante el proceso, se utilizan operaciones elementales, como intercambios de filas, multiplicación de una fila por una constante y suma o resta de múltiplos de filas, para obtener los valores correctos de L y U.
- Una vez obtenida la descomposición LU, se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales y realizar otros cálculos.
Formulas:
Factorización LU=A
Toda matriz Anxn puede escribirse como el producto de: L•U= A
U = una Matriz Triangular Superior (Upper)
L = una Matriz Triangular Inferior (Lower).
A=L•U
Método de Tanteo para LU:
para U: Comenzar escalonando la matriz A a una Matriz Triangular Superior (Upper):
$$A=\begin{matrix}\begin{bmatrix}2&5 \\ -3&-4\end{bmatrix} \\ \frac{3}{2}f_1+f_2 \rightarrow f_2\end{matrix} \rightarrow U = \begin{bmatrix}2&5 \\ 0&\frac{7}{2}\end{bmatrix}$$
para que a21 sea 0:
$$2x-3=0 \qquad x=\frac{3}{2}$$
Para L:
El factor que hace que se vuelva cero es 3/2
Trasladamos el factor -3/2 cambiado de signo a la posición a21:
$$L=\begin{bmatrix}1&0\\-\frac{3}{2}&1\end{bmatrix} \:\: \text{Finalmente: } A=LU$$
Método de Ecuaciones para LU:
EJ.: La matriz Anxn se puede descomponer
$$L=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}=A \qquad \text{Si: }A=L \cdot U$$
$$A=L \cdot U =\begin{bmatrix}1&0&0 \\ L_{21}&1&0 \\ L_{31}&L_{32}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}&U_{13} \\ 0&U_{22}&U_{23} \\ 0&0&U_{33}\end{bmatrix}$$
Igualando componentes de la matriz A y el producto de L•U Se tiene las ecuaciones:
$$a_{11}=U_{11}$$
$$a_{12}=U_{12}$$
$$a_{21}=L_{21}U_{11}$$
$$a_{22}=L_{21}U_{12}+U_{22}$$
$$a_{13}=U_{13}$$
$$a_{31}=L_{31}U_{11}$$
$$a_{32}=L_{31}U_{12}+L_{32}U_{22}$$
$$a_{23}=L_{21}U_{13}+U_{23}$$
$$a_{33}=L_{31}U_{13}+L_{32}U_{23}+U_{33}$$
Método L U para resolver Sis. Ec. Lineales:
$$\text{Si: }[A]\{x\}=\{f\} \rightarrow \begin{matrix}\underbrace{[L][U]\{x\}=\{f\}} \\ \{z\}\end{matrix}$$
$$\{z\}= \text{matriz columna nx1 (vector)}$$
$$\{z\}=[U]\{x\} \rightarrow [L]\{z\}=\{f\}$$
Método Operaciones Elementales:
Para U: Comenzar escalonando la matriz A a una Matriz Triangular Superior (Upper), con operaciones elementales:
$$\begin{matrix} [A] \\ 2f_1+f_1 \rightarrow f_1 \end{matrix} =[A_1] \rightarrow E_1^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ -2f_1+f_2 \rightarrow f_2 \end{matrix}$$
$$-2f_1+f_2 \rightarrow f_2 = f_2 - 2f_1 \rightarrow f_2$$
$$\begin{matrix} [A_1] \\ -2f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} =[A_2] \rightarrow E_2^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ 2f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix}$$
$$\begin{matrix} [A_2] \\ -\frac{1}{2}f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} =[A_3] \rightarrow E_3^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ \frac{1}{2}f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix}$$
$$\begin{matrix} [A_3] \\ \frac{1}{2}f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} = [A_4] \rightarrow E_4^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ 2f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix}$$
$$\begin{matrix} [A_4] \\ -\frac{1}{2}f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} = [A_5] \rightarrow E_5^{-1} = \begin{matrix} [I] \\ -2f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix}$$
$$U=[A_5]=\begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1 \end{bmatrix}= \text{Trian. Sup.}$$
$$E_n ... E_3E_2E_1A=U \qquad A=\begin{matrix} \underbrace{E_1^{-1}E_2^{-1}...E_n^{-1}}U \\ L \\ \text{Luego A=LU}\end{matrix}$$
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