Factorización LDU=A
Categoria: formulae.app / Matemáticas / Álgebra Lineal / Factorización LDU=A
Descripción:
La factorización LDU, también conocida como descomposición LDU, es un método utilizado en álgebra lineal para descomponer una matriz A en el producto de tres matrices L, D y U. La matriz L es una matriz triangular inferior, la matriz D es una matriz diagonal y la matriz U es una matriz triangular superior.
El proceso de factorización LDU se puede resumir en los siguientes pasos:
- Se parte de la matriz A y se descompone en las matrices L, D y U.
- Se establece una matriz inicial para L, D y U.
- Se realiza un proceso iterativo donde se tantean los valores de L, D y U y se comprueba si el producto LDU es igual a A.
- Si el producto LDU es igual a A, se ha encontrado la factorización LDU. Si no, se ajustan los valores de L, D y U y se repite el proceso.
- Durante el proceso, se utilizan operaciones elementales, como intercambios de filas, multiplicación de una fila por una constante y suma o resta de múltiplos de filas, para obtener los valores correctos de L, D y U.
- Una vez obtenida la factorización LDU, se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales y realizar otros cálculos.
Formulas:
Si queremos expresar A en forma LDU = A con A y D como datos:
1. Para la forma: PAQ = D
$$(A|I_A) \rightarrow (B_1|P) \rightarrow \left(\frac{I_B}{B_1}\right) \rightarrow \left(\frac{Q}{B}\right)$$
2. Partiendo de A llevaremos a D. haciendo
Op. elem.:
$$\begin{matrix}\underbrace{F_n...F_2F_1} \\ P\end{matrix} \:\: A \:\: \begin{matrix}\underbrace{C_1C_2...C_n} \\ Q\end{matrix}=D$$
Finalmente:
$$\begin{matrix}\underbrace{F_1^{-1}F_2^{-1}...F_n^{-1}} \\ L\end{matrix} \:\: D \:\: \begin{matrix}\underbrace{C_n^{-1}...C_2^{-1}C_1^{-1}} \\ U\end{matrix}=A$$
PlayStore
AppStore