Características de una Matriz (Diagonal, Traza y Rango)

Diagonal Principal

Se denomina a los elementos a_ij tal que i=j y solo existe en matrices cuadradas (otro diagonal secundario)

$$A_{m\text{x}m}=\begin{bmatrix}d_1&0 \\ 0&d_2\end{bmatrix}$$

Traza de una Matriz

Es la suma de todos los elementos de la diagonal principal, y solo existe en matrices cuadradas

$$tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{m\text{x}m}$$

$$tr(A)= \sum_{i=j=1}^n a_{ij} \qquad \text{si: } i=j$$

Propiedades:

tr(A+ B) = tr(A) + tr(B)

tr(A+...+Z)=tr(Z+...+A)

tr(A^t) = tr(A)

tr(kA) = k tr(A)

tr(A^-1) = a^-1₁₁ + a^-1₂₂ + ... a^-1_nn

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas luego de realizar un numero finito de operaciones elementales

Escalonar.

ρ(A) = Rango de A_mxn = N° filas no nulas

ρ(A) = n° de vectores.

$$\therefore \text{ los vectores son Lin. Indep.}$$

1. Rango por Gauss:

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}\underline{1}&6&9 \\ 0&\underline{5}&8 \\ 0&0&\underline{1}\end{bmatrix}_{3 \text{x} 3} \\ 3= \text{rango Max}\end{matrix}$$

$$\begin{matrix} \begin{bmatrix}\underline{1}&3&5&9 \\ 0&\underline{7}&2&6 \\ 0&0&\underline{6}&7 \end{bmatrix}_{3 \text{x} 4} \\ 3= \text{rango Max}\end{matrix}$$

Rango por Determinantes:

$$\text{Si: } |A| \neq 0 \rightarrow \rho (A) = 3. \text{Vectores L.I.}$$

$$\text{Si: } |A| = 0 \rightarrow \rho (A) = 2 \: \text{ó} \: 1.$$