Calculo de Determinantes - Regla de Chío para |A| de 4x4

Ejemplo:

$$|A|=\begin{vmatrix}1&0&0&3 \\ 0&-1&0&4 \\ 2&3&0&0 \\ 1&5&-2&6\end{vmatrix}$$

Generalizando y comparando con |A|:

$$|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34} \\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{vmatrix}$$

Trabajando en la tercera columna.

$$|A|= \sum_{i=1}^4 (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$$

n=4 j= 3 Columna

$$|A|= \sum_{i=1}^4 (-1)^{i+3}a_{i3}|M_{i3}|$$

Desarrollando y reemplazando:

$$|A|=\underbrace{(-1)^{1+3}a_{13|M_{13}|}} + \underbrace{(-1)^{2+3}a_{23|M_{23}|}} + $$

$$ + \underbrace{(-1)^{3+3}a_{33|M_{33}|}} + \underbrace{(-1)^{4+3}a_{43|M_{43}|}}$$

$$|A|=0|M_{13}|-0|M_{23}|+0|M_{33}|-(-2)|M_{43}|$$

$$|A|=2|M_{43}|$$

$$|A|=\begin{matrix} \underbrace{2 \begin{vmatrix}1&0&3\\0&-1&4\\2&3&0\end{vmatrix}} \\ |B|\end{matrix}$$

Queda una Matriz de 3x3 :

$$|A|=2|B| \:\:\: \text{Generalizando: } \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$$

$$|B|= \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$$

n=3 j= 1 Columna

$$|B|= \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+1}a_{i1}|M_{i1}|$$

$$|B|=\underbrace{(-1)^{1+1}a_{11|M_{11}|}} + \underbrace{(-1)^{2+1}a_{21|M_{21}|}} + \underbrace{(-1)^{3+1}a_{31|M_{31}|}} $$

$$|B|=1|M_{11}|-0|M_{21}|+2|M_{31}|$$

$$|B|=|M_{11}|+2|M_{31}|$$

$$|B|=\begin{vmatrix}-1&4\\3&0\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}0&-1\\2&3\end{vmatrix} \qquad |B|=-6$$

Finalmente:

$$|A|=2|B| \qquad |A|=2(-6) \qquad |A|=-12$$

1ra Propiedad: si la matriz es simétrica con elementos únicos (una sola variable respecto a la diagonal principal). Para reducir el determinante, sumamos todas las (filas o columnas) a la primera.

2da Propiedad: si la matriz tiene elementos simétricos opuestos respecto a la diagonal principal, su:

$$|A|=|A^t| \rightarrow |A||A^t| \qquad |A||A|=|AA^t| \rightarrow |A|=\sqrt{|AA^t|}$$

esto lo realizamos para que al multiplicar solo genere la diagonal principal, ya que son opuestos, los demás elementos se anula.