Calculo de Determinantes - Regla de Chío para |A| de 4x4
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Descripción:
El cálculo de determinantes es una operación esencial en álgebra lineal y la Regla de Chío también se puede aplicar para calcular el determinante de una matriz 4x4.
La Regla de Chío establece que el determinante de una matriz 4x4 se calcula mediante la siguiente fórmula:
|A| = a11 * a22 * a33 * a44 + a11 * a23 * a34 * a42 + a11 * a24 * a32 * a43 + a12 * a21 * a34 * a43 + a12 * a23 * a31 * a44 + a12 * a24 * a33 * a41 + a13 * a21 * a32 * a44 + a13 * a22 * a34 * a41 + a13 * a24 * a31 * a42 + a14 * a21 * a33 * a42 + a14 * a22 * a31 * a43 + a14 * a23 * a32 * a41 - a11 * a22 * a34 * a43 - a11 * a23 * a32 * a44 - a11 * a24 * a33 * a42 - a12 * a21 * a33 * a44 - a12 * a23 * a34 * a41 - a12 * a24 * a31 * a43 - a13 * a21 * a34 * a42 - a13 * a22 * a31 * a44 - a13 * a24 * a32 * a41 - a14 * a21 * a32 * a43 - a14 * a22 * a33 * a41 - a14 * a23 * a31 * a42
En esta fórmula, aij representa el elemento de la matriz en la posición i, j.
Aplicando la Regla de Chío, se multiplican los elementos de las diagonales descendentes de la matriz y se suman, luego se multiplican los elementos de las diagonales ascendentes de la matriz y se restan. El resultado obtenido es el valor del determinante.
La Regla de Chío es una forma eficiente de calcular el determinante de una matriz 4x4 y se utiliza ampliamente en álgebra lineal.
Formulas:
Ejemplo:
$$|A|=\begin{vmatrix}1&0&0&3 \\ 0&-1&0&4 \\ 2&3&0&0 \\ 1&5&-2&6\end{vmatrix}$$
Generalizando y comparando con |A|:
$$|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34} \\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{vmatrix}$$
Trabajando en la tercera columna.
$$|A|= \sum_{i=1}^4 (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$$
n=4 j= 3 Columna
$$|A|= \sum_{i=1}^4 (-1)^{i+3}a_{i3}|M_{i3}|$$
Desarrollando y reemplazando:
$$|A|=\underbrace{(-1)^{1+3}a_{13|M_{13}|}} + \underbrace{(-1)^{2+3}a_{23|M_{23}|}} + $$
$$ + \underbrace{(-1)^{3+3}a_{33|M_{33}|}} + \underbrace{(-1)^{4+3}a_{43|M_{43}|}}$$
$$|A|=0|M_{13}|-0|M_{23}|+0|M_{33}|-(-2)|M_{43}|$$
$$|A|=2|M_{43}|$$
$$|A|=\begin{matrix} \underbrace{2 \begin{vmatrix}1&0&3\\0&-1&4\\2&3&0\end{vmatrix}} \\ |B|\end{matrix}$$
Queda una Matriz de 3x3 :
$$|A|=2|B| \:\:\: \text{Generalizando: } \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$$
$$|B|= \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+j}a_{ij}|M_{ij}|$$
n=3 j= 1 Columna
$$|B|= \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+1}a_{i1}|M_{i1}|$$
$$|B|=\underbrace{(-1)^{1+1}a_{11|M_{11}|}} + \underbrace{(-1)^{2+1}a_{21|M_{21}|}} + \underbrace{(-1)^{3+1}a_{31|M_{31}|}} $$
$$|B|=1|M_{11}|-0|M_{21}|+2|M_{31}|$$
$$|B|=|M_{11}|+2|M_{31}|$$
$$|B|=\begin{vmatrix}-1&4\\3&0\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}0&-1\\2&3\end{vmatrix} \qquad |B|=-6$$
Finalmente:
$$|A|=2|B| \qquad |A|=2(-6) \qquad |A|=-12$$
1ra Propiedad: si la matriz es simétrica con elementos únicos (una sola variable respecto a la diagonal principal). Para reducir el determinante, sumamos todas las (filas o columnas) a la primera.
2da Propiedad: si la matriz tiene elementos simétricos opuestos respecto a la diagonal principal, su:
$$|A|=|A^t| \rightarrow |A||A^t| \qquad |A||A|=|AA^t| \rightarrow |A|=\sqrt{|AA^t|}$$
esto lo realizamos para que al multiplicar solo genere la diagonal principal, ya que son opuestos, los demás elementos se anula.
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