Calculo de Determinantes - Método de Cofactores para |A|
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Descripción:
El cálculo de determinantes es una operación fundamental en álgebra lineal y uno de los métodos utilizados es el método de cofactores. Este método se basa en la construcción de los cofactores de los elementos de una fila o columna determinada de la matriz.
El procedimiento para calcular el determinante utilizando el método de cofactores es el siguiente:
- Selecciona una fila o columna de la matriz.
- Para cada elemento de esa fila o columna, construye el cofactor multiplicando el elemento por (-1) elevado a la suma de su índice de fila y columna.
- Multiplica cada cofactor por su elemento correspondiente y obtén su producto.
- Suma o resta los productos obtenidos según la regla del signo, dependiendo de la posición del elemento en la fila o columna seleccionada.
- El resultado obtenido será el valor del determinante de la matriz original.
El método de cofactores es una técnica eficaz para calcular determinantes y se aplica a matrices de cualquier tamaño.
Formulas:
Sea la Matriz:
$$A=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$$
La matriz de cofactores es:
$$cof(A)=\begin{bmatrix}+\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}d&e\\g&h \end{vmatrix} \\-\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}a&b\\g&h\end{vmatrix} \\+\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}&-\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}&+\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}\end{bmatrix}$$
$$|A|=ac_{11}+bc_{12}+cc_{13}$$
$$c_{11}=(-1)^{1+1}|A_{11}| \qquad c_{12}=(-1)^{1+2}|A_{12}|$$
$$c_{13}=(-1)^{1+3}|A_{13}| \qquad c_{21}=(-1)^{2+1}|A_{21}|$$
$$c_{22}=(-1)^{2+2}|A_{22}| \qquad c_{23}=(-1)^{2+3}|A_{23}|$$
$$c_{31}=(-1)^{3+1}|A_{31}| \qquad c_{32}=(-1)^{3+2}|A_{32}|$$
$$c_{33}=(-1)^{3+3}|A_{33}|$$
$$cof(A)=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13} \\ c_{21}&c_{22}&c_{23} \\ c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix} \qquad |A_{11}|=\begin{vmatrix}e&f \\ h&i\end{vmatrix}$$
Para |A| se debe multiplicar la fila 1 de A, con la misma fila 1 de cof(A).
Para |A| se debe multiplicar la columna 1 de A, con la misma columna 1 de cof(A).
$$|A|=ac_{11}+dc_{21}+gc_{31}$$
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